A532: Le défi de l’empereur
En 1225 Leonardo Fibonacci a relevé le défi lancé par Frédéric II de Hohenstaufen roi de Sicile et empereur germanique, en trouvant le plus petit nombre rationnel dont le carré qu'il soit augmenté de 5 ou diminué de 5 reste le carré d'un nombre rationnel. Résoudre le même problème avec un incrément/
décrément égal à 2009. Le problème a-t-il une solution (difficulté : *****)avec un incrément/décrément égal à 2010 ?
Si k est l’incrément/décrément, et le rationnel cherché mis sous forme irréductible a/b, nous devons donc trouver des entiers a, b, c, d tels que c2=a2+kb2 et d2=a2-kb2, donc c2+d2=2a2: c et d sont donc de même parité, et l’on peut poser e=(c+d)/2, f=(c-d)/2, donc c=e+f, d=e-f, et a2=e2+f2. A partir de la solution générale du problème pythagoricien, on en déduit qu’il existe p et q premiers entre eux (q<p) et m tels que:
a=m(p2+q2) et c=e+f=m(p2+2pq-q2), donc kb2=c2-a2=4m2pq(p2-q2).
Si a et k ont un diviseur commun premier r, il divise aussi c2, donc c, et r2 divise c2, donc kb2=c2-a2, et comme a et b sont premiers entre eux, r2 divise k. Donc si k n’est pas divisible par un carré, a et k sont premiers entre eux, et m=1.
Si a, b, c, d sont solution pour l’incrément k, ma, b, mc, md sont solution pour l’incrément m2k.
Si q et p2-q2 sont des carrés, il existe une solution pour k=p; en particulier pour k=p=5, q=4, p2-q2=9, a=52+42=41, b=!(4q(p2-q2)=12, c=49, d=31.
Si p et q sont des carrés ainsi que p-q, il existe une solution pour k=p+q; en particulier pour p=25, q=16, p-q=9, k=p+q=41, a=881, b=!(4pq(p-q))=120, c=1169, d=431.
Comme 2009=72*41, il existe une solution pour k=2009, obtenue en multipliant par 7 les valeurs ci-dessus: a=6167, b=120, c=8183, d=3017.
