Enonc´e noA476 (Diophante) Passage d’une ann´ee `a l’autre
Les entiers naturelsx ety positifs ob´eissent `a la relation 2010x2+x= 2011y2+y.
Prouver que x−y est un carr´e parfait p2 dont on donnera les trois plus petites valeurs possibles.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin On tire de la relation de l’´enonc´e
x
2011y+ 1 = y
2010x+ 1= x−y
2011y−2010x = 2011y−2010x 1 + 2010·2011(x−y) soit (x−y)(1 + 2010·2011(x−y)) = (2011y−2010x)2.
Les deux facteurs du premier membre sont ´evidemment premiers entre eux ; puisque leur produit est un carr´e, chacun d’eux est un carr´e, x−y = p2, 1 + 2010·2011(x−y) =q2.
La relation q2 = 1 + 2010·2011p2 est une ´equation de Fermat dont les plus petites solutions sont (p, q) = (0,1), (2,4021). La solution g´en´erale est
pn= (4021 + 2√
2010·2011)n−(4021−2√
2010·2011)n 2√
2010·2011 qn= (4021 + 2√
2010·2011)n+ (4021−2√
2010·2011)n 2
qui peut aussi s’obtenir par la r´ecurrence pn+1= 8042pn−pn−1,qn+1= 8042qn−qn−1.
Au couple (p, q) correspond le couple (x, y) = (pq+ 2011p2, pq+ 2010p2).
Les premi`eres valeurs de p sont ainsi 2, 16084, 129347526, 1040212788008, . . . d’o`u les valeurs dex−y
4, 258695056, 16730782482320676, 1082042644335376348608064, . . .
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