moindres carr´ es trois exemples de

Nombres complexes densit´ e gaussienne

moindres carr´ es trois exemples de

mod´ elisation

du ”second degr´ e”

Pascal Guelfi

3 mai 2008

Coordonn´ ees

p.guelfi@free.fr

L’ind´ ependance stochastique sans scholastique

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 3

Les su´edois blonds par l’exp´erience

P(B|S) = Card(B ∩ S) Card(S) =

Card(B ∩ S) Card(H)

Card(S) Card(H)

= P(B ∩ S) P(S)

contre la d´efinition

P(A ∩ B) ^d´= P(A)P(B)^ef

Pythagore sans tricher

av JC : prop 31 du6^`eme livre des ´el´ements EUCLIDE

Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le cˆot´e qui soutend l’angle droit est ´egale aux figures semblables et semblablement d´ecrites sur les cˆot´es qui comprennent l’angle droit.

A

B

H C

C^′ A^′

B^′

γ α

α+γ

g´en´ealogie vectorielle euclidienne : GALIL´EE ()→ additivit´e→

NEWTON ()→ forces→

M^ŒBIUS (^)→ SO4 Pb dans O⁻₃ → CAYLEY ()→ n «artifice»→

G^RASSMANN (^)→ Gebiet, formes, n→ SCHL¨AFLI ()→ poly`edres→

JACOBI ()→ formes quadratiques→ S^YLVESTER (^)→ S_n(R), H_n(C)→

 ap JC : k−→

ACk² = k−→

AB +−→

BCk²

= k−→

ABk² + k−→

BCk² + 2 < −→

AB|−→

BC >

Trois mod` eles

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 5

un fil directeur : la « sym´etrie » dans un cadre euclidien 1. Nombres complexes, g´eom´etrie plane et d´emographie

2. Loi des erreurs, heuristique des aleas et m´etrique sous-jacente 3. Moindres carr´es, ´equations approch´ees et second degr´e

Affixe de l’orthocentre le premier dessin

c b

bb

ba

b0

U

Affixe de l’orthocentre le premier dessin

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 6

c b

bb

ba

b0

U

hb = {z ∈ C ; ∃λ ∈ R ; z = b + λi(c − a)}

Le second dessin

c b

bb

ba

b0

U

b

Le second dessin

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 7

c b

bb

ba

b0

U

b

a + c 2

Le second dessin

c b

bb

ba

b0

U

b

a + c 2

hb =

z ∈ C ; ∃λ ∈ R ; z = b + λa + c 2

Morale

■ Alain CONNES et les aires de Brodmann.

Premi` ere g´ en´ eralisation

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 8

Dans un quadrilat`ere inscriptible, les six droites perpendiculaires aux segments et qui passent par les milieux des autres concourent en a + b + c + d

2 c’est-`a-dire au point image de l’isobarycentre par l’ho- moth´etie de rapport 4 dont le centre est le centre du cercle circonscrit au quadrilat`ere.

Seconde g´ en´ eralisation

Si un ensemble de n points A = {A_k}^16k6n sont cocycliques (sur un cercle de centre Ω). Pour chaque (i, j), avec i 6= j, on consid`ere la droite D_i,j⊥(A_iA_j) qui passe par le centre de gravit´e G_i,j de {A_k}^{k /∈{i,j}}. Alors, les n(n − 1)

2 droites D_i,j concourent au point Γ : image du centre de gravit´e de A par l’homoth´etie de centre Ω et de rapport

n n − 2·

Premier chiffre significatif

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 10

Expliquer le fait que 31,5% des 200 pays du monde (et non 1/9<sup>i`eme</sup>) poss`edent un nombre d’habitants dont l’´ecriture d´ecimale commence par 1...

G´ en´ eralisons pour mieux comprendre

La facilit´e du calcul et le souhait de confronter le r´esultat de notre mod´elisation conduisent `a la g´en´eralisation consistant `a remplacer 1 par n’importe lequel des neuf chiffres d ∈ J1, 9K possibles.

La mod´ elisation complexe

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 12

Nous voici devant la question de l’´evaluation de la probabilit´e de l’´ev´enement E_d o`u

E_d =

∃r_n ∈ N ; u_n = u₀γⁿ ∈ Jd · 10^rn,(d + 1) · 10^rnJ

Ici, le mod`ele affirme que la population des pays du monde est un

« ´echantillonnage » d’une suite g´eom´etrique fondamentale du type

« Adam et ˆEve » ce qui n’est certainement pas « vrai ».

Les qualit´es d’un mod`ele incluent ce type de « r´esistance » `a des hypoth`eses simplificatrices.

Premi` eres id´ ees

1. Que pensez-vous de la valeur de P(E_d)?

Premi` eres id´ ees

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 13

1. Que pensez-vous de la valeur de P(E_d)?

2. Avec des hypoth`eses raisonnables , il semble que

P(E_d) = b − a

2π = log 1 + 1 d

!

Premi` eres id´ ees

1. Que pensez-vous de la valeur de P(E_d)?

2. Avec des hypoth`eses raisonnables , il semble que

P(E_d) = b − a

2π = log 1 + 1 d

!

3. Le fait que log 2 ≃ 0,301 est tr`es encourageant.

R´ epartition uniforme

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 14

Toujours, sans nous pr´eoccuper de pr´eciser l’espace probabilis´e de notre calcul

1. imaginons que la suite e^2iπnlog(γ)

n∈N est « r´epartie uniform´ement » dans U.

C’est le th´eor`eme d’´equir´epartition de W^EIL.

2. Le th´eor`eme de K^RONECKER assure, de son cˆot´e la densit´e, dans U de la suite e^2iπnlog(γ)

n∈N d`es que log(γ) ∈/ Q.

« L’enroulement de Z » se produit ic¸i !

R´ epartition uniforme

Toujours, sans nous pr´eoccuper de pr´eciser l’espace probabilis´e de notre calcul

1. imaginons que la suite e^2iπnlog(γ)

n∈N est « r´epartie uniform´ement » dans U.

C’est le th´eor`eme d’´equir´epartition de W^EIL.

2. Le th´eor`eme de K^RONECKER assure, de son cˆot´e la densit´e, dans U de la suite e^2iπnlog(γ)

n∈N d`es que log(γ) ∈/ Q.

« L’enroulement de Z » se produit ic¸i !

3. Que pensez vous de la situation g´en´erale si log(γ) ∈ Q ?

NB : Il y a plein de mani`eres d’ˆetre dense. Penser `a Q et R r {Q} (s´equentiellement hors sujet ici . . .)

Premi` ere justification

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 15

Ces r´esultats sont intuitifs et Il est raisonnable de penser qu’en

cons´equence, P(E_d) est exactement le rapport de la mesure de l’arc (a, b) `a celle du cercle entier.

Voici maintenant la figure lumineuse qui rend compte de l’exp´erience !

Enroulement d´ emographique

b 1 = e^2iπlog(1)

e^2iπlog(2)

e^2iπlog(3)

e^2iπlog(4)

e^2iπlog(5)

e^2iπlog(6)

e^2iπlog(7)

e^2iπlog(8) e^2iπlog(9) (U)

Commentaires sur la mod´ elisation

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 17

■ Confirmation de l’hypoth`ese malthusienne.

Commentaires sur la mod´ elisation

■ Confirmation de l’hypoth`ese malthusienne.

■ communes>nations>d´epartements>>r´egions

Commentaires sur la mod´ elisation

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 17

■ Confirmation de l’hypoth`ese malthusienne.

■ communes>nations>d´epartements>>r´egions

■ L’excellente ad´equation des communes `a la loi de B^ENFORD a trois raisons au moins

◆ Leur grand nombre (loi d’iceux !)

◆ Leur stabilit´e historique.

◆ Leur grande vari´et´e en effectif [de l’ordre du million `a celui de la dizaine] m’a aussi ´et´e signal´ee par Jean-Paul QUELEN ; cette vari´et´e participe clairement `a la qualit´e de

l’´echantillonnage qu’elles constituent.

Commentaire sur les constantes de la nature

■ Irrationalit´e des constantes physiques.

Commentaire sur les constantes de la nature

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 18

■ Irrationalit´e des constantes physiques.

■ Les constantes physiques comme premier terme.

Commentaire sur les constantes de la nature

■ Irrationalit´e des constantes physiques.

■ Les constantes physiques comme premier terme.

■ Newton et les s´eries enti`eres.

Commentaire sur les constantes de la nature

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 18

■ Irrationalit´e des constantes physiques.

■ Les constantes physiques comme premier terme.

■ Newton et les s´eries enti`eres.

■ Types de mod`eles : « N^EWTON » contre « le pas du jaguar ».

L’invention des complexes

C’est C^ARDAN (^-^) qui popularise (sans la permission mais aussi sans s’en attribuer la paternit´e) la m´ethode de TARTAGLIA

(^-^) aupr`es du public. Voici un exemple :

Comment r´esoudre l’´equation x³ − 2x − 4 = 0 dans R ?

Si le second degr´ e r´ ecalcitre

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 20

L’ing´enieur italien R^AFAELE B^OMBELLI (^-^) applique la m´ethode de Cardan `a la racine ´evidente : 4 de l’´equation :

x³ = 15x + 4, il trouve que u³ et v³ sont racines du polynˆome : X² − 4X + 125 lequel n’en a pas de r´eelle. Qu’`a cela ne tienne ! Le discriminant r´eduit de ce polynˆome vaut −121 Bombelli ´ecrit sans vergogne et `a la suite de Cardan :

4 =³ q

2 + √

−121 +³ q

2 − √

−121

Jugements

Qui a dit, `a propos d’un nombre dont -15 serait le carr´e et qu’il note

√−15 pour observer que le d´eveloppement formel de (5 + √

−15)(5 − √

−15) conduit `a 5² − (−15) = 40 :

■ « Il s’agit l`a en v´erit´e d’une grandeur sophistique, puisqu’il n’est permis ni d’effectuer les op´erations de calcul sur elle comme sur des grandeurs purement n´egatives ou autres, ni d’en

pourchasser un sens... »

■ « Ainsi la subtilit´e arithm´etique progresse vers une fin qui est aussi raffin´ee qu’inutile. »

Devinette

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 22

Qui a dit

« Il est inconcevable qu’une mati`ere brute inanim´ee puisse, sans la m´ediation de quelque chose d’autre qui n’est pas mat´eriel, op´erer sur une autre mati`ere et l’affecter sans contact mutuel. »

?

Indication

Indication

Le mˆeme dit

« Que la gravit´e soit inn´ee, inh´erente et es- sentielle `a la mati`ere, de telle fac¸on qu’un corps puisse agir sur un autre `a distance et `a travers le vide, sans la m´ediation de quelque chose d’autre par quoi cette action soit transmise de l’un `a l’autre, est pour moi une absurdit´e si grande que je crois qu’aucun homme tant soit peu comp´etent en mati`ere de philosophie ne pourra jamais tomber dans cette erreur. »

R´ eponse

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 24

N^EWTON en parlant des forces qu’il a invent´e en

en 1693 (ˆag´e de 50 ans) dans une lettre au philologue et pol´emiste enflamm´e R^ICHARD B^ENTLEY

« Baccalaur´ eat » Suisse ^

G´eom´etrie : 4 heures

1. Un triangle inscrit dans un cercle de rayon r = 10 a ses hau- teurs proportionnelles `a 2,3 et 4. Calculer les angles et un cˆot´e.

2. On donne un cercle de rayon r dont le centre se trouve `a l’origine O d’un rep`ere orthonormal. On consid`ere les cordes de ce cercle qui restent perpendiculaires `a l’axe des x. Les cercles ayant ces cordes comme diam`etres sont tangents `a l’ellipse de demi-axes r√

2 et r, aussi longtemps que la dis- tance p de leur centre `a O ne d´epasse pas une certaine valeur maximale. D´emontrer cette proposition et d´eterminer la va- leur maximale de p.

Premier commentaire et illustration

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 26

■ Pythagore g´en´eralis´e (alias) A^L K^HASHI . . .

■

b b

b

b

r√ 2 r

O E

Γ√^r2

b

b b

b b

b b

b b

b b

b b

b b

b b b

b

b b

b b

b b

b b

b b b b

b bµ

seconde ´ epreuve

Alg`ebre : 2 heures

Dans un triangle, on connaˆıt les distances l, m, n du centre du cercle inscrit aux sommets ; d´eterminer le rayon ρ dudit cercle inscrit lorsque (l, m, n) = (1, ¹₂, ¹₃)·

A b ^bB

Cb

b

I

b b

ρ b

ρ

ρ

l m

n

α 2

β 2 γ

2

Le miracle de C

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 28

■ Les clˆotures alg´ebriques de dimension finie.

■ Les sur-alg`ebres int`egres de R, associatives.

■ Un premier point de vue sur le miracle du chiffre 2.

■ Dans l’autre sens aussi : Th´eorie de A^RTIN-S^CHREIER.

Erreurs

Appelons

■ ω l’´ev´enement que constitue le ph´enom`ene mesur´e.

■ X(ω) sa mesure exacte.

■ X_k(ω) la mesure concr`ete indiqu´ee par un appareil lors d’une k<sup>`eme</sup> observation de l’´ev´enement ω.

■ On consid`ere alors la variable al´eatoire translat´ee E_k ^d´= X^ef − X_k =

Ω −→ R

ω 7−→ X(ω) − X_k(ω)

Un exemple concret

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 30

Consid´erons l’exemple des temp´eratures de la plus grosse cloche de la cath´edrale de Strasbourg durant l’ann´ee ^.

■ Ω peut ˆetre mod´elis´e par l’intervalle r´eel [0, 366] qui code naturellement les instants de cette ann´ee.

■ X est la fonction qui `a chaque instant ω associe la valeur exacte de la temp´erature de la cloche `a cette date. X est ici une loi

horaire.

■ Pour n ∈ N^⋆, et k ∈ J1, nK, X_k(ω) est la temp´erature lue, « `a l’instant » ω, sur le thermom`etre num´erot´e k.

Probabilit´ es

■ E_k(ω) est donc l’erreur alg´ebrique faite « par d´efaut » lors de la k^`eme mesure de ω.

■ Les variables E₁, E₂,· · · , E_n sont raisonnablement de mˆeme loi et ind´ependantes.

■ Critiquez, dans le cadre de l’exemple de la cloche, cette hypoth`ese !

La nature des erreurs

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 32

Sous des hypoth`eses raisonnables, et conform´ement au rappel de l’introduction concernant l’ind´ependance, on a

P (

E ∈

Yn i=1

[ε_i − h, ε_i + h]

)

=

Yn i=1

Z _εi+h

εi−h

f

f d´esignant la densit´e suppos´ee exister et commune aux E_i.

Quel ´ etait le probl` eme dont nous connaissions la solution

■ Consid´erons n mesures : x₁, x₂, · · · , x_n d’une quantit´e inconnue de valeur exacte ϑ.

■ Il est « naturel » de consid´erer le nombre ϑe ^d´=^ef x₁ + x₂ + · · · + x_n

n

comme la valeur « la plus raisonnable » que l’exp´erimentation permet d’attribuer `a ϑ.

■ Ce nombre : ϑe rend « minimale » la fonction

∆ ^d´=^ef







R −→ R₊ x 7−→

Xn k=1

(x − x_k)²

Le paradigme de la question

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 34

On est pass´e d’une question concr`ete admettant une solution

intuitive `a l’´enonc´e d’une question abstraite dont elle reste solution.

Toute l’histoire des Lumi`eres baigne dans ce paradigme. Les ´equations diff´erentielles en sont la version la plus famili`ere.

Puissance et limite de ce point de vue

■ Retour sur les r´eserves et les motivations de N^EWTON.

■ Le jaguar et la mouche . . .

■ Les nuages d’oiseaux et les tourbillons.

■ Les trois corps, l’´ecliptique, l’image asymptotique . . .

Moindres carr´ es et compensation des erreurs

Les erreurs ε_k ^d´=^ef ϑ − x_k v´erifient σ(ε) ^d´=^ef

Xn k=1

ε_k = nϑ −

Xn k=1

x_k

On en d´eduit, puisque la valeur « la plus raisonnable » que

l’exp´erimentation permet d’attribuer `a ϑ est ϑ, que la somme dese erreurs admet comme valeur la plus raisonnable

σ(ε) =g nϑe−

Xn k=1

x_k = 0

R´ esum´ e

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 36

On a donc deux points de vue ´equivalents dont la richesse tient `a la vari´et´e des ´eclairages qu’ils permettent. En r´esum´e

Le principe de compensation des erreurs

´

equivaut donc aussi `a la minimisation d’une dis- tance euclidienne dans un espace de grande di- mension.

Approximation des contraintes

Chacune des int´egrales

Z _εi+h

εi−h

f est approxim´ee par 2hf(ϑ) pr´ecis´ement

1 2h

Z εi+h εi−h

f lim

h→0 = f(ε_i) On a donc

Yn i=1

Z _εi+h

εi−h

f ∼

h→ 0 (2h)ⁿ

Yn i=1

f(ε_i) = (2h)ⁿ

Yn i=1

f(ϑ − x_k)

Premier changement de fonction inconnue

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 38

En changeant de fonction inconnue, posant h = Ln ◦f, on obtient, pour n = 3

R −→ R

ϑ 7−→ h(ϑ − ε₁) + h(ϑ − ε₂) + h(ϑ − ε₃) pr´esente un maximum en ϑ = 0

C’est-`a-dire, en cherchant f parmi les fonctions de classe C¹, que ε₁ + ε₂ + ε₃ = 0 =⇒ h^′(ε₁) + h^′(ε₂) + h^′(ε₃) = 0

Second changement de fonction inconnue

ϕ ^d´=^ef h^′ = f^′

f conduit `a la recherche des ϕ ∈ C⁰(R, R⁺) telles que

∀ε ∈ R³

, ε₁ + ε₂ + ε₃ = 0 =⇒ ϕ(ε₁) + ϕ(ε₂) + ϕ(ε₃) = 0

L’´ equation fonctionnelle

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 40

Pour (x, y) ∈ R², il vient, en posant

(ε₁, ε₂, ε₃) = (x + y, −x, −y) ϕ(x + y) + ϕ(−x) + ϕ(−y) = 0

Mais la parit´e de f est ´evidente¹ puisque, par sym´etrie, les erreurs positives sont aussi probables que les mˆemes, n´egatives. L’imparit´e de ϕ s’en d´eduit, qui assure que ϕ v´erifie l’´equation fonctionnelle

∀(x, y) ∈ R²

, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)

1Sa d´ecroissance aussi, qui argumente l’insensibilit´e « douteuse » des extrema locaux `a l’´equivalence . . .

Du fonctionnel au diff´ erentiel

On sait montrer qu’avec l’hypoth`ese de continuit´e, seules les

fonctions x 7→ αx conviennent. Aussi la densit´e recherch´ee est-elle solution de l’´equation diff´erentielle

y^′

y = αx

que l’on r´esout en en cherchant les solutions sous la forme loisible y = x 7→ e^αx

2

2 z(x). On trouve alors toutes les fonctions x 7→ βe^αx

2 2 .

Les densit´ es gaussiennes

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 42

Z _+∞

−∞

βe^αx

2

2 = 1

En effet, `a moins d’une s´erieuse contrari´et´e, l’exp´erimentateur devrait obtenir une mesure E_k(ω) ∈ R !

Un ancien probl`eme de Bac difficile (C Liban ^) « permet », en TS, de prouver que α = −2πβ² et la loi des erreurs naturelles est donc de densit´e

f =

R −→ R ε 7−→ βe^−πβ2ε2

Leur graphe

b

O

−

→j

−

→i

Question finale : on observe que la nature nous laisse un degr´e de libert´e avec β. C’est heureux. Pourquoi ?

L’histoire de la d´ ecouverte

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 44

La « m´ethode des moindres carr´es » est pr´esente avant le discours expos´e ici qui est l’œuvre de Gauß lequel est publi´e en ^ sous le nom de

« Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiæ » . C’est-`a-dire : « Th´eorie du cumul des tr`es petites erreurs d’observation »

Nous avons vu comment la « compensation sym´etrique des erreurs al´eatoires » admet une interpr´etation quadratique tr`es classique.

C’est bien cette derni`ere qui organise l’explication de Gauß.

Trois points de vue ´ equivalents

Le principe de compensation des erreurs et qui ´equivalait `a la maximisation d’une probabilit´e : celle de la « courbe

d’´ev´enements »

ε 7−→

(

E ∈

Yn i=1

[ε_i − h, ε_i + h]

)

´

equivaut donc aussi `a la minimisation d’une distance euclidienne dans un espace de grande dimension.

Philosophie L

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 46

On voit ici comment l’´ecart quadratique moyen ou l’´ecart-type se r´ev`ele une notion `a la fois intuitive et crypt´ee.

■ l’´ecart quadratique moyen est intuitif car ce qui le rend minimal est ce qui s’impose c’est-`a-dire : la moyenne.

■ Il est crypt´e parce qu’il est dissimul´e dans l’ensemble de toutes les fonctions susceptibles d’´evaluer la distance `a un n−uplet de r´eels.

■ Il minimise la distance du vecteur (x₁, x₂, · · · , x_n) ∈ Rⁿ `a un

vecteur de la droite R(1, 1,· · · , 1) qui est la seule `a ne privil´egier aucune des mesures x₁, x₂, · · · , x_n par rapport aux autres. Le

probl`eme compliqu´e de la droite (n + 1 objets) est devenu un probl`eme simple

deux objets : le vecteur (x₁, x₂, · · · , x_n) et la droite R(1, 1, · · · , 1)

dans un espace compliqu´e : Rⁿ

Philosophie L

■ La fonction suivante serait assez l´egitime.

δ ^d´=^ef







R −→ R₊ x 7−→ 1

n

Xn k=1

|x − x_k|

■ Critique euclidienne des structures l¹ en dimension un et deux.

■ Formule de Leibniz.

■ L’unicit´e perdue.

■ Sph`eres anguleuses.

■ Rar´efaction des sym´etries.

Philosophie : la victoire L

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 48

■ La structure l² de Rⁿ a des privil`eges : elle est « euclidienne » !

■ Le retour massif des sym´etries.

■ L’infinit´e d’icelles caract´erise la structure euclidienne parmi les structures d’espace vectoriel norm´e

R, k · k^p

∞>p>1

■ le cas des structures norm´ees planes. L’euclidienne est la seule qui produise un groupe d’isom´etrie infini. On peut y deviner, `a la fois la pr´e´eminence de la norme euclidienne et celle de la

g´eom´etrie plane sur le plan ´epist´emologique.

Plan-espace un exemple concret

Des ´equations contradictoires mais presque justes selon

LEGENDRE (^) Il s’agit de savoir quelle est la meilleure valeur possible que l’on peut attribuer `a un couple (x, y) ∈ R², sachant qu’approximativement, on a





a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂ a₃x + b₃y = c₃

Le cas g´en´eral est celui de trois droites (D₁,D₂, D₃) non

concourantes et deux `a deux non parall`eles. Le partisan de L² voudra naturellement

minimiser la somme des carr´es des distances `a ces droites. Nous allons voir que cet exemple induit un point de vue vectoriel qui

mise en ´ equation

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 50

Chaque point M = (x, y), du plan R² v´erifie

F(x, y) ^d´=^ef

X3 j=1

d²(M, D_j) =

X 3

j =1

(a_jx + b_jy − c_j)² a²_j + b²_j

Formules qu’il est loisible de supposer normalis´ees :

∀j ∈ J1,3K

, a²_j + b²_j = 1

La solution analytique de

Legendre sans CN d’extremum

Si F pr´esente, en (x₀, y₀), un minimum absolu, la fonction Φ ^d´=^ef

R −→ R y 7−→ F(x₀, y) pr´esente, en y₀ un minimum local donc

Φ^′(y₀) = ∂F

∂y (x₀, y₀) = 0 De mˆeme

∂F

∂y (x₀, y₀) = 0

Explosion dimensionnelle

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 52

Ainsi L^EGENDRE parvient au syst`eme optimis´e de deux ´equations aux inconnues x, y

(a²₁ + a²₂ + a²₃)x + (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)y = a₁c₁ + a₂c₂ + a₃c₃ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)x + (b²₁ + b²₂ + b²₃)y = b₁c₁ + b₂c₂ + b₃c₃

Il est difficile (pour nous) de ne pas ´ecrire ce syst`eme sous la forme suivante o`u interviennent les vecteurs de R³, ´evidemment not´es

a, b, c

kak²x+ < a| b > y =< a | c >

< a| b > x + kbk²y =< b | c >

Ce type de mod`ele est le nœud des intuitions de M¨OBIUS . . .

Lemoine et l’alg` ebre ´ el´ ementaire du second degr´ e

bP x

B C

A

b b

b

B^′ C^′

∆

M b

z y

Si un point P r´ealise le minimum de la fonction F consid´erons la droite ∆ parall`ele `a (BC) qui passe par P. Posons {B^′} ^d´= ∆^ef ∩ (AB) et {C^′} ^d´= ∆^ef ∩(AC). On consid`ere, pour chaque point M ∈ (B<sup>′</sup>C<sup>′</sup>), ses distances y et z `a (AB)et (AC). L’id´ee ici est d’utiliser une identit´e remarquable². On a clairement, par disparition des doubles produits et en appelant σ l’aire du triangle AB^′C^′

(AB^′2+ AC^′2)(y²+z²) = (AB^′z + AC^′y)² + (AB^′y−AC^′z)²

= 4σ² + (AB^′y−AC^′z)²

Cette quantit´e est donc minimale lorsque AB^′y = AC^′z c’est-`a- dire, selon THAL`ES, lorsque ABy = ACz. On en d´eduit que les distances x, y, z de P aux droites ∆_j sont proportionnelles aux cˆot´es a, b, c du triangle. Le fait ´evident que ax+by +cz = 2s o`u s d´esigne l’aire du triangle ABC explicite les distances (x, y, z) = λ(a, b, c) dont la somme des carr´es est minimale.

2s =λ(a² +b²+c²) On trouve donc

(x, y, z) = 2s

a² +b² +c² (a, b, c)

2due `a L^AGRANGE et qui prouve qu’un produit de sommes de deux carr´es par-

Le point de vue g´ eom´ etrique et sa f´ econdit´ e

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 54

B C

A

b b

b

M b

x

z y

Tout se passe dans l’espace eucli- dien : R³ !

1. Id´ees de M¨^OEBIUS, C^AYLEY, G^RASSMANN

2. Extema li´es, thermodyna- mique des gaz parfaits : fermeture des parabolo¨ıdes hyperboliques !

Graßmann cr´ eateur

■ Le mouvement auquel nous avons assist´e et qui conduit du plan

`a l’espace est exactement ce que Graßmann appelle d`es ^ :

« l’extension lin´eaire ».

■ Observons qu’un esprit aussi novateur que P^OINCAR´E r´epugne encore en ^ aux preuves qui font intervenir l’espace euclidien R⁴ !

■ Bien sˆur, le passage de 3 `a 4 n’est pas anodin mais l’´etranget´e g´eom´etrique du plan

π|ax + by + cz = 2s

relativement au triangle ABC est pourtant³ de la mˆeme nature.

3Il est ´evidemment facile de voir cela du haut des concepts actuels qui ont

La probl´ ematique de M¨ obius

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 56

La m´ethode « analytique » de LEGENDRE aboutit avec quatre ´equations `a trois inconnnues : 









a₁x + b₁y + c₁z = d₁ a₂x + b₂y + c₂z = d₂ a₃x + b₃y + c₃z = d₃ a₄x + b₄y + c₄z = d₄

Gageons que M¨OBIUS n’aurait pas reni´e l’id´ee de projeter (0, 0, 0,0) sur l’hy- perplan

π|{(x, y, z, t) ∈ R⁴ ; ax + by + cz + dt = 3µ}

o`u a, b, c, d sont les aires des faces du t´etra`edre que limitent les quatre plans de notre syst`eme lin´eaire et µ le volume dudit t´etra`edre. En revanche, pas de formule^a de LAGRANGE pour les sommes de trois carr´es !

aProuv´e en ^ par H^URWITZ qui limite cette circonstance `a 1,2,4 et 8 . . .

S ^TEINITZ caution universitaire

En ^ le math´ematicien allemand E^RNST S^TEINITZ, sans citer Graßmann, accorde son imprimatur `a la g´eom´etrie

p-dimensionnelle qui entre ainsi, par la grande porte, dans

l’enseignement des math´ematiques et quitte⁴ le domaine de la sp´eculation philosophique ou mondaine.

4Pas compl`etement puisqu’il est toujours bien vu, dans les salons, de parler des

De la g´ eom´ etrie ` a l’alg` ebre

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 58

■ L’exemple ´el´ementaire et profond du plan π montre qu’il n’est pas besoin d’un important bagage math´ematique pour faire l’exp´erience d’une « autre g´eom´etrie » qui semble pr´esider au probl`eme dont nous ´etions parti.

■ L’abstraction commence formellement avec FRANC¸OIS VI`ETE

(^-^) qui note a² non pas le nombre mais encore la figure⁵ g´eom´etrique.

■ Le germe alg´ebrique pointe n´eanmoins clairement et c’est REN´E

D^ESCARTES qui, circa , consid`ere a² comme un nombre.

■ Il faut donc attendre plus de deux mill´enaires pour que le th´eor`eme de PYTHAGORE (≃-^) s’´ecrive avec la puissance alg´ebrique historiquement porteuse de ses g´en´eralisations.

5Noter le sens anglo-saxon de figures . . .

De la dimension finie quelconque a ` l

Le th´eor`eme de P^YTHAGORE que nous enseignons aux coll´egiens a

´et´e observ´e et d´emontr´e⁶ au IX<sup>`eme</sup> si`ecle avant notre `ere, dans le

« Trait´e des gnomons » de T^CHOU. Trois si`ecles s’ajoutent ainsi `a nos deux mill´enaires. On peut mˆeme, `a en croire J.L. Coolidge⁷,

trouver sa trace dans une tablette argileuse et sum´erienne dat´ee de -^ ce qui met l’invention du th´eor`eme de P^YTHAGORE plus de

quatre mill´enaires avant sa g´en´eralisation `a la dimension 4 !

6Par la belle d´emonstration g´eom´etrique o`u un grand carr´e est d´ecompos´e en cinq morceaux.

Vers la dimension infinie

pascal guelfi complexes et gaussienne – page 60

De la dimension 4 aux espaces norm´es de dimension infinie et au plus naturel d’entre eux, c’est-`a-dire `a l^{2 d´}=^ef

(

u ∈ R^N⋆ ;

X∞ 1

u²_n < ∞ )

muni de la norme qui s’impose, s’´ecoulent les trois quarts de si`ecle qui s´eparent G^RASSMANN des travaux de H^ILBERT et B^ANACH.

Parall`element `a cette histoire o`u l’objet qui ´evolue est global

Droite r´eelle → Plan → Espace vectoriel (euclidien)→ evn : l² se d´eveloppe une histoire plus chirurgicale et qui concerne les

fonctions de R^R. Elle consiste `a produire une int´egrale efficace qui

´

evite les difficult´es de celle construite par G^EORG R^IEMANN en ^

De Pythagore ` a Lebesgue

L’invention de l’espace vectoriel norm´e : l² se fait au d´ebut du

XX<sup>`eme</sup>. si`ecle en mˆeme temps que se d´eveloppe la th´eorie moderne de l’int´egrale. La d´ecouverte, par H^ENRI L^EBESGUE, de l’int´egrale qui porte son nom est expos´ee par lui lors de la s´eance du ^ avril `a l’Acad´emie des Sciences, en ^.

La conclusion de cette « histoire du second degr´e » se trouve dans la transform´ee de F^OURIER qui ´etablit un isomorphisme (lin´eaire) entre l² et L².

En ^ S^CHMIDT et F^R´ECHET adoptent le langage euclidien pour l². Aussi L₂ se trouve-t-il d´ecrit avec des mots qui unifient son univers et celui dans lequel p´en´etraient les hommes, pour la premi`ere fois peut-ˆetre, sur la rive m´esopotamienne du golfe persique, ^ ans