Espace probabilis´ e

(1)

1

Probabilit´ es

Alexis Bienven¨ue,Alexis.Bienvenue@univ-lyon1.fr Vincent Lerouvillois

I Probabilit´es : contrˆole continu par QCM

https://clarolineconnect.univ-lyon1.fr/

(2)

2

Introduction

Probabilit´es: mod´elisation du hasard.

Statistique: caract´erisation `a partir des observations.

Mod´elisation et ´evaluation du risque.

(3)

1. Espaces probabilis´es discrets 3

Plan

Espaces probabilis´es discrets Espace probabilis´e

Probabilit´e conditionnelle et ind´ependance

Éléments aléatoires

Théorie générale des probabilités Manipulation des vecteurs aléatoires Statistiques descriptives

(4)

1. Espaces probabilis´es discrets 1. Espace probabilis´e 4

Espace probabilis´ e

Mod´elisation :

I Expérience: phénomène aléatoire étudié

I UniversΩ : ensemble deséventualités(ouétats de la nature). Quoi qu’il arrive à l’issue de l’expérience, le résultat de l’expérience doit pouvoir être associé à une et une seule éventualité.

I Ev´´ enement: collection d’éventualités (qui peut être vide ou ne contenir qu’une éventualité), c’est-à-dire sous-ensemble de l’univers.

Quelques événements particuliers : I L’événement impossible∅ I L’événement certainΩ

I Lesévénements élémentaires, contenant exactement une éventualité.

(5)

Correspondance entre les opérateurs logiques et ensemblistes : siA1,A2, . . .sont des événements d’un même univers Ω,

I A₁∩A₂est réalisé siA₁ et A₂sont réalisés ;

I A1∪A2est réalisé siA1 ou A2sont réalisés (ou les deux) ;

I A¯1= Ω\A1(le complémentaire de A1) est l’événement contraire deA1; I deux événements A1etA2sont dits incompatibles s’ils sont disjoints,

c’est-`a-dire si A₁∩A₂=∅.

I A1implique A2s’écritA1⊂A2, car dans ce casω∈A1⇒ω∈A2. I Un nombre infinideA_k se réalisentest représenté par

\

n

[

k≥n

A_k = lim sup

n

A_n;

I LesAk se réalisenttous à partir d’un certain rang est représenté par [

n

\

k≥n

Ak = lim inf

n An.

(6)

Jojo ach`ete un billet de l’euro-million.

Ω ={0,1}, avec la notation I 1 =Jojo gagne le gros lot I 0 =Jojo ne gagne pas le gros lot Jojo lance sa pi`ece de 2e.

Ω ={0,1}, avec la notation

I 1 =la pi`ece tombe sur pile I 0 =la pi`ece tombe sur face

(7)

D´ efinition (Probabilit´ e)

On appelleprobabilitésur un univers discret (c’est-à-dire dénombrable ou fini) Ω une applicationPdeP(Ω) dans [0,1] telle que :

I P(Ω) = 1 ;

I pour toute suite (Ai)_i≥1d’événements deux à deux incompatibles,

P

+∞

[

n=1

An

!

=

+∞

X

n=1

P(An). Le couple (Ω,P) sera alors appel´eespace probabilis´e.

(8)

Lemme

SiPest une probabilit´e sur un univers discret Ω, et siA,B et lesA_n sont des

´

ev´enements, alors : 1. P(∅) = 0 ; 2. P( ¯A) = 1−P(A) ;

3. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) ; 4. A⊂B⇒P(A)≤P(B) ;

5. Si (A_n)_n est une suite croissante (i.e.A_n⊂A_n+1), alors

P

+∞

[

n=1

An

!

= lim

n→+∞P(An) ; 6. Si (An)n est une suite d´ecroissante (i.e.An⊃An+1), alors

P

+∞

\

n=1

A_n

!

= lim

n→+∞P(A_n) ;

(9)

Lemme (suite)

7. On a : P

lim inf

n An

≤lim inf

n P(An), P

lim sup

n

An

≥lim sup

n P(An) ; 8. Formule dePoincar´e(appel´ee aussi principe d’inclusion-exclusion) :

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

i=1

P(Ai)−X

i<j

P(Ai∩Aj) + X

i<j<k

P(Ai∩Aj∩Ak)−. . . + (−1)ⁿ⁺¹P(A₁∩A₂∩. . .∩A_n),

De plus cette somme est alternée (inégalités deBonferroni).

(10)

Un exemple important de probabilit´e :

D´ efinition (Probabilit´ e uniforme)

Soit Ω un ensemblefini. La probabilité uniforme(ouéquiprobabilité) sur Ω est l’unique probabilitéPqui prend la même valeur sur tous les événements

´

el´ementaires. Elle s’´ecrit

P(A) = Card(A)

Card(Ω) ∀A⊂Ω. Comment mod´eliser les exp´eriences suivantes ?

I On choisit un nombre au hasard entre 1 et 6.

I On choisit un entier naturel au hasard.

Attention :il n’existe pas de probabilit´e uniforme sur un ensemble d´enombrable infini !

(11)

Caract´ erisation des probabilit´ es sur un univers discret

Si Ω est dénombrable, toute probabilitéPsur Ω est entièrement définie par la donnée des probabilités des événements élémentaires :pω=P({ω}), de la fa¸con suivante :

P(A) =X

ω∈A

pω ∀A⊂Ω. De plus, si (p_ω)_ω∈Ω est une famille de r´eels de [0,1] telle que

X

ω∈Ω

p_ω= 1,

alors il existe une et une seule probabilit´ePtelle queP({ω}) =p_ω pour toutω.

Exemple :la probabilité de Poisson de paramètreλ >0 est la probabilitéPsurN définie par :

∀n∈N, P({n}) =p_n= e^−λλⁿ n! .

(12)

D´ efinition

Un événementAd’un espace probabilisé (Ω,P) est ditpresque-impossibleou négligeablesi P(A) = 0. Il est ditpresque-sûrsiP(A) = 1, c’est-à-dire si son complémentaire est presque-impossible.

Dans le cadre discret, si on pose

Ω0={ω∈Ω,P({ω}) = 0},

alors un événementA⊂Ω est presque-impossible si et seulement si il est inclus dans Ω₀, et Aest presque-sûr si et seulement si ¯Ω₀⊂A.

(13)

1. Espaces probabilisés discrets 2. Probabilité conditionnelle et indépendance 13

Probabilit´ e conditionnelle et ind´ ependance

Jojo lance deux dés, un rouge et un bleu. On modélise cette expérience par l’univers Ω ={1, . . . ,6}²muni de la probabilité uniformeP, l’élément (i,j)∈Ω représentant l’éventualitéle dé rouge a donnéi et le dé bleu a donnéj.

1 2 3 4 5 6

1 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ 2 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ 3 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ 4 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ 5 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ 6 ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹ ₃₆¹

(14)

On sait en plus que la somme des deux dés lancés par Jojo est 4 ou 5. Comment modéliser cette nouvelle expérience ?

I Utilisons par exemple le mˆeme univers

I La nouvelle probabilité a utiliser doit être nulle hors deB=la somme des deux dés est 4 ou 5.

I DansB, les éventualités doivent rester équiprobables

1 2 3 4 5 6

1

0 0 0 0

2

0 0 0 0

3

0 0 0 0

4

0 0 0 0 0

5

0 0 0 0 0 0

6

0 0 0 0 0 0

(15)

1 2 3 4 5 6

1 0 0 ? ? 0 0

2 0 ? ? 0 0 0

3 ? ? 0 0 0 0

4 ? 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

(16)

1 2 3 4 5 6

1 0 0 x x 0 0

2 0 x x 0 0 0

3 x x 0 0 0 0

4 x 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

(17)

1 2 3 4 5 6

1 0 0 ¹₇ ¹₇ 0 0 2 0 ¹₇ ¹₇ 0 0 0 3 ¹₇ ¹₇ 0 0 0 0 4 ¹₇ 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

(18)

Jojo lance deux dés, un rouge et un bleu. On modélise cette expérience par l’univers Ω ={2, . . . ,12}muni de la probabilitéP, l’élémenti∈Ω représentant l’éventualitéla somme du résultat des deux dés esti. La probabilitéP adaptée est définie de la manière suivante :

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P({i}) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆³ ₃₆⁴ ₃₆⁵ ₃₆⁶ ₃₆⁵ ₃₆⁴ ₃₆³ ₃₆² ₃₆¹

(19)

I Utilisons par exemple le mˆeme univers, muni de la probabilit´eP⁰.

I Cette probabilité ne doit pas donner de poids en-dehors deB=la somme du résultat des deux dés est 4 ou 5={4,5}

I Le rapport entre les poids des événements{4} et{5}doit rester inchangé

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P({i}) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆³ ₃₆⁴ ₃₆⁵ ₃₆⁶ ₃₆⁵ ₃₆⁴ ₃₆³ ₃₆² ₃₆¹ P⁰({i})

0 0 0 0 0 0 0 0 0

(20)

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P({i}) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆³ ₃₆⁴ ₃₆⁵ ₃₆⁶ ₃₆⁵ ₃₆⁴ ₃₆³ ₃₆² ₃₆¹

P⁰({i}) 0 0 ? ? 0 0 0 0 0 0 0

(21)

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P({i}) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆³ ₃₆⁴ ₃₆⁵ ₃₆⁶ ₃₆⁵ ₃₆⁴ ₃₆³ ₃₆² ₃₆¹

P⁰({i}) 0 0 x ⁴₃x 0 0 0 0 0 0 0

(22)

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P({i}) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆³ ₃₆⁴ ₃₆⁵ ₃₆⁶ ₃₆⁵ ₃₆⁴ ₃₆³ ₃₆² ₃₆¹

P⁰({i}) 0 0 ³₇ ⁴₇ 0 0 0 0 0 0 0

(23)

D´ efinition (Probabilit´ e conditionnelle)

Soit (Ω,P) un espace probabilisé discret,AetB deux événements tels que P(B)6= 0. On définit laprobabilité conditionnelledeAsachantB, notée P(A|B), par :

P(A|B) =P(A∩B) P(B) . On v´erifie que

P(· |B) :P(Ω) −→ [0,1]

A 7→ P(A|B)

est une nouvelle probabilité sur Ω qui s’annule sur les événements incompatibles avecB.

Si (Ω,P) modélise une certaine expérience, alors (Ω,P(· |B)) modélise cette expérience à laquelle on a rajouté l’hypothèse/la connaissance supplémentaire de la réalisation deB.

(24)

Formule des probabilit´ es totales

SoitI un ensemble d’indices fini ou dénombrable, et {B_n}_n∈I une partition de Ω par des événements de probabilité non nulle. Alors

∀A⊂Ω, P(A) =X

n∈I

P(A|B_n)P(B_n).

Formule des probabilit´ es compos´ ees

Soit (Ω,P) un espace probabilisé etA₁, . . . ,A_ndes événements tels que P(A₁∩ · · · ∩A_n)6= 0. Alors,

P(A₁∩ · · · ∩A_n) =P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁∩A₂)· · ·P(A_n|A₁∩ · · · ∩A_n−1).

(25)

Ind´ ependance

On dit que deux événements A et B sont indépendants si la connaissance ou non de la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité que l’autre se réalise.

D´ efinition (Ind´ ependance de deux ´ ev´ enements)

On dit que deux événementsAetB d’un même espace probabilisé (Ω,P) sont indépendants si

P(A∩B) =P(A)×P(B).

Propri´ et´ es

I Tout événementAest indépendant de Ω et de∅.

I SiAetB sont ind´ependants, alorsAet ¯B le sont, de mˆeme que ¯AetB, ainsi que ¯Aet ¯B.

I SiAetA⁰ sont tous les deux indépendants deB, alors l’indépendance de A∩A⁰ etB est équivalente à l’indépendance deA∪A⁰ etB.

(26)

D´ efinition (Ind´ ependance mutuelle d’´ ev´ enements)

Une famille (A_i)_i∈I est dite ind´ependante dans son ensemble– ou les (A_i)_i∈I sont ditsmutuellement ind´ependants – si pour tout ensemble fini d’indices F ⊂I, on a :

P

\

i∈F

Ai

!

=Y

i∈F

P(Ai).

Remarque :Si les (A_i)_i∈I sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants (prendreF={i,j}), mais le contraire n’est pas vrai.

(27)

D´ efinition

Deux famillesF1 etF2d’événements sont ditesindépendantes si

∀A₁∈F1, ∀A₂∈F2, on a P(A₁∩A₂) =P(A₁)P(A₂).

D´ efinition

Les familles d’événements Fi d’une collection (Fi)i∈I sont dites mutuellement indépendantessi toute famille d’événements F^?= (Ai)i∈I telle queAi ∈Fi pour touti∈I est indépendante dans son ensemble.

(28)

Espace probabilis´ e produit

Considéronsnexpériences modélisées par les espaces probabilisés (Ωi,Pi)i=1,...,n.

Si ces expériences sontindépendantes, on peut les modéliser de manière conjointe par l’espace probabilisé produit

(Ω,P) =

n

Y

i=1

Ω_i,

n

O

i=1

Pi

!

d´efini par

P({(ω1, . . . , ωn)}) =

n

Y

i=1

Pi({ωi}) ∀(ω1, . . . , ωn)∈Ω.

I Cette dernière égalité définit bien une probabilité.

I Dans cet espace, les différentes expériences sont indépendantes.

(29)

1. Espaces probabilisés discrets 3. Éléments aléatoires 23

El´ ´ ements al´ eatoires

D´ efinition

SoitT un ensemble quelconque. Si (Ω,P) est un espace probabilisé discret, on appelleélément aléatoiredéfini sur (Ω,P) et à valeurs dansT, toute application X : Ω−→T.

PourB ⊂T, l’événementX⁻¹(B) ={ω∈Ω, X(ω)∈B} pourra être noté {X ∈B}et sa probabilitéP(X⁻¹(B)) pourra être notéeP[X ∈B].

I SiT =R, on dit queX est unevariable al´eatoirer´eelle (v.a.r.).

I SiT =R^k, on dit queX est unvecteur al´eatoire, et dans ce cas les composantesXi de X = (X1, . . . ,Xk) sont des v.a.r.

I De même, on peut définir unefonction aléatoireou tout autre objet mathématique aléatoire (graphes, réseaux, formes, etc.).

I Si l’image deX dansT est fini ou dénombrable (c’est toujours le cas si Ω est dénombrable), on dit queX est unélément aléatoire discret.

(30)

El´ ´ ements al´ eatoires

D´ efinition

SoitT un ensemble quelconque. Si (Ω,P) est un espace probabilisé discret, on appelleélément aléatoiredéfini sur (Ω,P) et à valeurs dansT, toute application X : Ω−→T.

PourB ⊂T, l’événementX⁻¹(B) ={ω∈Ω, X(ω)∈B} pourra être noté {X ∈B}et sa probabilitéP(X⁻¹(B)) pourra être notéeP[X ∈B].

Exemples fondamentaux :

I Une fonction constantef ≡aest un élément aléatoire, même si dans ce cas il n’y a plus d’aléatoire dans la valeur def.

I SiA⊂Ω est un ´ev´enement, alors la fonction indicatrice1A: Ω→ {0,1}

d´efinie par

1A(ω) =

1 siω∈A, 0 sinon est une variable al´eatoire r´eelle.

(31)

Loi de probabilit´ e d’un ´ el´ ement al´ eatoire

D´ efinition

SoitX : (Ω,P)−→T un élément aléatoire discret. On définit l’applicationPX de P(T) dans [0,1] par :

PX(B) =P(X⁻¹(B)) =P[X ∈B] ∀B ⊂T.

AlorsP^X est une probabilité sur T appeléeloi de probabilité(ouloi, ou distribution) deX.

Donner la loi d’un élément aléatoireX, c’est :

I Donner l’ensemble des valeurs que peut prendreX :X(Ω) ;

I pour chaquex∈X(Ω), donner la probabilit´e queX prenne effectivement cette valeur :PX({x}) =P[X =x].

(32)

Egalit´ ´ e en loi

D´ efinition

On dira que deux éléments aléatoiresX etY ont même loi, ousont

identiquement distribu´es, si leurs loisPX etPY sont des probabilit´es identiques.

Cette relation sera not´ee

X ∼Y .

Pour pouvoir comparer leurs lois, deux éléments aléatoires ne doivent pas forcément être définis sur le même espace probabilisé, mais doivent prendre leurs valeurs dans le même ensemble.

Par contre, pour pouvoir direX =Y, il est nécessaire queX etY soient définis sur le même espace de probabilité, et qu’ils prennent leurs valeurs dans le même espace. En effet, on compare ici deux fonctions de Ω dansT.

Par ailleurs, siX =Y, alors il est ´evident queX ∼Y, mais le contraire n’est pas vrai.

(33)

Ind´ ependance d’´ el´ ements al´ eatoires

I Quelles sont les informations qu’un élément aléatoire peut donner ? I Quand dit-on que deux éléments aléatoires sont indépendants ?

D´ efinition

Deux éléments aléatoires discretsX etY à valeurs dansT etU définis sur le même espace probabilisé (Ω,P) sont ditsindépendantssi, pour tous

sous-ensemblesA⊂T etB⊂U, les événements{X ∈A} et{Y ∈B}sont indépendants, c’est-à-dire si les famillesX⁻¹(P(T)) etY⁻¹(P(U)) sont indépendantes.

Caract´ erisation dans le cas discret

Deux éléments aléatoiresdiscretsX etY à valeurs dans T etU sont indépendants si, pour tousx∈T ety∈U,{X =x}et{Y =y}sont indépendants.

(34)

Ind´ ependance d’´ el´ ements al´ eatoires

I Quelles sont les informations qu’un élément aléatoire peut donner ? I Quand dit-on que deux éléments aléatoires sont indépendants ?

D´ efinition

Deux éléments aléatoires discretsX etY à valeurs dansT etU définis sur le même espace probabilisé (Ω,P) sont ditsindépendantssi, pour tous

sous-ensemblesA⊂T etB⊂U, les événements{X ∈A} et{Y ∈B}sont indépendants, c’est-à-dire si les famillesX⁻¹(P(T)) etY⁻¹(P(U)) sont indépendantes.

Lien avec la probabilit´ e produit

Deux éléments aléatoiresdiscretsX etY sont indépendants si et seulement si P(X,Y) =PX⊗PY .

(35)

Esp´ erance

D´ efinition

SoitX une variable aléatoire discrète, pouvant prendre les valeursX(Ω). Si la sérieP

x∈X(Ω)|x|P[X =x] converge, on dit queX estint´egrable, on pose EX = X

x∈X(Ω)

xP[X =x],

et on appelle ce nombreesp´erance math´ematique deX oumoyennedeX. SiP

x∈X(Ω)|x|P[X =x] = +∞, on dira queX n’est pas int´egrable.

Remarque

L’espérance d’une variable aléatoirene dépend que de sa loi. On parlera donc aussi d’intégrabilité et d’espérance d’uneloi.

(36)

Repr´ esentation alternative

On a aussi :

EX =X

ω∈Ω

X(ω)P({ω}).

Plus généralement, si la suite d’événements (A_i)_i≥1forme une partition de Ω telle queX est constante et égale àxi sur chaqueAi, alors :

EX =X

i≥1

xiP(Ai).

(37)

Propri´ et´ es

SoientX etY deux variables aléatoires intégrables etαun réel. Alors I E(αX) =αEX

I E(X+Y) =EX+EY

I siX etY sont ind´ependantes, alorsE(XY) =EX×EY

(38)

2. Théorie générale des probabilités 30

Plan

Espaces probabilisés discrets Théorie générale des probabilités

Tribus

Mesure positive, probabilit´e

Indépendance, espace probabilisé produit Mesurabilité des fonctions, éléments aléatoires Intégrale, espérance

Densit´e

Manipulation des vecteurs al´eatoires Statistiques descriptives

(39)

2. Théorie générale des probabilités 31

Th´ eorie g´ en´ erale des probabilit´ es

I Les espaces probabilisés discrets sont-ils suffisants pour nos modèles ? I Que se passe-t-il si on conserve les mêmes définitions dans le cas où Ω n’est

pas d´enombrable ?

Diff´ erence fondamentale entre le cas discret et le cas g´ en´ eral

Dans la théorie générale des probabilités, on n’essayera plus de mesurer (par la probabilitéP) tous les sous-ensembles de Ω, mais seulement ceux qui

appartiennent `a une certaine famille A. La formuleP(A) =P

ω∈AP({ω}) ne sera valable que dans le cas o`uAest d´enombrable.

Si l’on veut pouvoir manipulerPsurAde manière fluide, Adevrait être stable par les opérations ensemblistes qui interviennent dans la définition et les propriétés d’une probabilité discrète

(40)

2. Théorie générale des probabilités 1. Tribus 32

Tribus

D´ efinition (Tribu)

Un sous-ensemble AdeP(Ω) est unetribu (ouσ-alg`ebre) sur Ω si I Ω∈A

I A∈A=⇒A¯∈A

I Si (Ai)i est une suite d’´el´ements de A, alors∪i≥1Ai ∈A

Les éléments deA sont appelés ensembles mesurablesouévénements. Le couple (Ω,A) est alors appeléespace mesurable, ouespace probabilisable.

Exemples

I P(Ω) est une tribu sur Ω.

I {∅,Ω} est une tribu sur Ω.

I SiA⊂Ω,{∅,A,A,¯ Ω} est une tribu sur Ω.

(41)

Propri´ et´ e

Une intersection d’un nombre quelconque de tribus sur Ω est une tribu sur Ω.

Remarque : il n’en est pas de mˆeme pour les unions !

D´ efinition

SoitE un sous ensemble deP(Ω).

I Latribu engendr´eeparE, not´eeσ(E), est l’intersection de toutes les tribus contenantE.

Propri´ et´ e

SoitE un sous ensemble deP(Ω) et A une tribu sur Ω. Alors E⊂A=⇒σ(E)⊂A.

(42)

Tribus bor´ eliennes

D´ efinition

Si Ω est un espace topologique (en particulierRouR^d), on appelletribu bor´eliennesur Ω, que l’on noteB(Ω), la tribu engendr´ee par les ouverts de Ω.

On appelleborélien un sous-ensemble de Ω appartenant à la tribu borélienne.

D´ efinition alternative

La tribu borélienne deR^d est la tribu engendrée par les pavés deR^d qui s’écrivent sous la forme

d

Y

i=1

]− ∞,b_i].

Remarque

La tribu borélienne deR^d, même si elle contient la plupart des sous-ensembles de R^d auxquels on peut penser naturellement, est différente deP(R^d).

(43)

2. Théorie générale des probabilités 2. Mesure positive, probabilité 35

Mesure positive, probabilit´ e

D´ efinition

Soit Ω un ensemble quelconque, et Aune tribu sur Ω. On appellemesure positivesur (Ω,A) une applicationµde A dans ¯R+=R+∪ {+∞}telle que :

I µ(∅) = 0.

I pour toute suite (A_n)_n≥1 d’éléments deux à deux disjoints de A,

µ



 [

n≥1

An



=X

n≥1

µ(An).

Cette dernière propriété est appeléeσ-additivitéde µ.

Le triplet (Ω,A, µ) est appel´eespace mesur´e.

On appelleprobabilitésur (Ω,A) une mesure positivePde masse totale 1 (c’est-à-dire telle queP(Ω) = 1). On dit alors que (Ω,A,P) est unespace probabilisé.

(44)

Exemples de mesures positives

I Si Ω est fini ou dénombrable et siPest une probabilité sur Ω suivant la définition donnée au premier chapitre, alorsPest une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,P(Ω)).

I Soit (Ω,A) un espace probabilisable, etx un point de Ω. On appellemesure de Dirac(oumasse de Dirac) au pointx la probabilité notéeδ_x sur (Ω,A) définie par :

∀A∈A, δ_x(A) =1_A(x) =

1 six∈A, 0 sinon.

I Lamesure de comptageµsur (Ω,P(Ω)) est d´efinie par

∀A⊂Ω, µ(A) =

Card(A) siAest fini,

+∞ sinon.

(45)

Propri´ et´ es

Soitµune mesure sur (Ω,A) et (Ai)_i≥1une suite d’ensembles mesurables. Alors : I SiA1⊂A2,µ(A1)≤µ(A2) (croissance).

I µ(∪iAi)≤P

iµ(Ai) (sous-additivit´e).

I Si (A_i)_i est croissante,µ(∪iA_i) = lim_iµ(A_i).

I Si (Ai)i est d´ecroissante etµ(Ai₀)<+∞pour un certaini0, alors µ(∩iAi) = limiµ(Ai).

De même, toutes les propriétés des probabilités montrées dans le cas discret sont encore valables pour la définition générale d’une probabilité.

(46)

Transformations de mesures

Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e.

I SiA∈A, alors l’applicationµA:A→R¯+définie parµA(B) =µ(A∩B) est une mesure, appeléemesure trace deµsurA. On peut bien entendu aussi remplacer Apar la tribu tracedeA surA, composée desA∩B oùB∈A. I Siλ >0,λµest une mesure.

I Siµ⁰ est aussi une mesure sur (Ω,A), alorsµ+µ⁰ est une mesure.

D´ efinition

Si (Ω,A,P) est un espace probabilisé etC un ensemble mesurable tel que P(C)>0, alors laprobabilité conditionnellesachantC est la probabilité P(· |C) définie par

P(A|C) =P(A∩C) P(C) .

(47)

Prolongement de mesures — d´ efinitions

D´ efinition

Une mesureµsur (Ω,A) est diteσ-finiesi il existe un recouvrement d´enombrable de Ω par des sous-ensembles deµ-mesure finie.

D´ efinition

Un ensemble Cde parties de Ω est appel´esemi-anneau d’ensemblessi : I L’ensemble vide appartient `a C;

I Pour tousA,B ∈ C, A\B est une réunion disjointe finie d’éléments de C; I Pour tousA,B ∈ C, A∩B appartient à C.

(48)

Prolongement de mesures

Th´ eor` eme de prolongement de Carath´ eodory

Soitµune mesure positive définie sur un semi-anneau Cde parties de Ω : µ(∅) = 0, et, pour toute suite (An)_n≥1 d’éléments deux à deux disjoints de C telle que∪nAn∈ C,

µ



 [

n≥1

An



=X

n≥1

µ(An). Alors la fonction ¯µd´efinie surσ(C) par

¯

µ(A) = inf (_∞

X

n=1

µ(An) ; An∈ C∀netA⊂ ∪^∞_n=1An

)

est une mesure qui prolongeµ. Ce prolongement est unique siµest une mesure σ-finie.

(49)

Mesures de Lebesgue

SurR, l’ensemble Cdes intervalles du type ]a,b] (aveca,b∈ ¯

R) forme un semi-anneau qui engendre la tribu bor´elienneB(R). D´efinissonsµ(]a,b]) =b−a.

D’après le théorème de prolongement de Carathéodory,µse prolonge en une unique mesureλsurσ(C) =B(R). Cette mesure est appeléemesure de LebesguesurR.

On définit de même la mesure de Lebesgueλd surR^d par ses valeurs sur les pavés :

λ_d

n

Y

i=1

]a_i,b_i]

!

=

n

Y

i=1

(b_i−a_i) ∀a_i <b_i ∈R. Remarque :SiA⊂R^d est d´enombrable, alorsλd(A) = 0.

D´ efinition

SoitAun borélien deR^d de mesure de Lebesgue finie et non-nulle. Laprobabilité uniformesurAest la mesurePdéfinie par

P(B) = λd(B∩A) λ_d(A) .

(50)

2. Théorie générale des probabilités 3. Indépendance, espace probabilisé produit 42

Ind´ ependance

La probabilité conditionelle, ainsi que l’indépendance et l’indépendance mutuelle d’un nombre fini d’événements ou de familles d’événements, sont définis de la même fa¸con que dans le cas discret...

D´ efinition (Ind´ ependance mutuelle)

On dit que les événementsA_i d’une famille (A_i)_i∈I ⊂Asont mutuellement indépendantssi, pour tout sous-ensemble finiJ de I, les événementsA_i pour i∈J sont mutuellement indépendants.

On dit que les famillesFi⊂Apouri ∈I sont mutuellement ind´ependantes si, pour tout sous-ensemble finiJ deI, les famillesFi pour i∈J sont mutuellement ind´ependantes.

(51)

Espace probabilis´ e produit de deux espaces

On considère deux expériences modélisées séparément par deux espaces probabilisés (Ω1,A1,P1) et (Ω2,A2,P2). Comment regrouper ces deux modélisations en une seule si les expériences sont indépendantes ? De manière naturelle, on choisit Ω = Ω1×Ω2.

D´ efinition (Tribu produit)

Latribu produit A=A1⊗A2 sur Ω est la tribu engendr´ee par les pav´es A₁×A₂, A₁∈A1, A₂∈A2.

D´ efinition (Probabilit´ e produit)

Laprobabilité produitest l’unique probabilitéPqui vérifie

P(A1×A2) =P¹(A1)×P²(A2) ∀A1∈A1, A2∈A2.

(52)

Espace probabilis´ e produit

D´ efinition

SoitI un ensemble quelconque, et, pour touti∈I, (Ωi,Ai,Pi) un espace probabilisé. On appelleespace probabilisé produitdes Ωi l’espace probabilisé constitué de l’univers Ω =Q

i∈IΩ_i, de la tribuA=N

i∈IAi et de la probabilit´e Q=N

i∈IPi, définis de la manière suivante : I unpavéde Ω =Q

i∈IΩi est un sous-ensemble de Ω de la formeQ

i∈IAi, où, pour touti∈I,Ai∈Ai, et où lesAi différents de Ωi sont en nombre fini.

I A est la tribu engendr´ee par les pav´es de Ω.

I Qest la probabilité sur (Ω,A) définie de manière unique par sa valeur sur les pavés : siA=Q

i∈IAi est un pavé de Ω, alors (dans le produit ci-dessous, il n’y a qu’un nombre fini de termes différents de 1, de sorte que ce produit peut être considéré comme fini) :

Q(A) =Y

i∈I

Pi(A_i).

(53)

Remarque :On peut d´efinir de la mˆeme fa¸con lamesureproduit.

Exemples :

I La tribu de Borel surRⁿest la tribu produit de tribus de Borel deR, et la mesure de Lebesgue en dimensionnest la mesure produit denmesures de Lebesgue unidimentionnelles :

B(Rⁿ) =

n

O

i=1

B(R), λ_n=

n

O

i=1

λ .

I Modélisation d’une infinité de lancers d’un dé à 6 faces par (Ω,A,P), avec Ω ={1, . . . ,6}^N^∗, A=O

i∈N^∗

P({1, . . . ,6}), P=O

i∈N^∗

P6,

o`uP⁶est la probabilit´e uniforme sur{1, . . . ,6}.

(54)

2. Théorie générale des probabilités 4. Mesurabilité des fonctions, éléments aléatoires 46

Mesurabilit´ e des fonctions, ´ el´ ements al´ eatoires

Pour une variable al´eatoireX, on souhaite pouvoir mesurer{X ∈B}=X⁻¹(B)...

D´ efinition

Soient (Ω,A) et (Ω⁰,A⁰) deux espaces probabilisables, etX une application de Ω dans Ω⁰. On dit queX : (Ω,A)−→(Ω⁰,A⁰) estmesurablesi

∀B∈A⁰, X⁻¹(B) ={ω∈Ω, X(ω)∈B} ∈A, c’est-`a-dire si

X⁻¹(A⁰)⊂A.

Si (Ω,A,P) est un espace probabilisé etX : (Ω,A)−→(Ω⁰,A⁰) est mesurable, alors on dit queX est unélément aléatoire.

(55)

Mesurabilit´ e des fonctions, ´ el´ ements al´ eatoires

D´ efinition

X⁻¹(A⁰)⊂A.

Remarque :Dans le cas o`uA=P(Ω), toute application

X : (Ω,A)−→(Ω⁰,A⁰) est bien sˆur mesurable, et ce quels que soient Ω⁰ etA⁰.

(56)

Mesurabilit´ e des fonctions, ´ el´ ements al´ eatoires

D´ efinition

X⁻¹(A⁰)⊂A.

Exemples :

I Toute application constante est mesurable.

I SiA⊂Ω,1Aest mesurable si et seulement siA∈A(sauf cas inint´eressants).

(57)

Transport de tribus

Lemme

Soient Ω et Ω⁰ deux ensembles quelconques, etX une application de Ω dans Ω⁰. Alors :

1. si A⁰ est une tribu sur Ω⁰, alorsA=X⁻¹(A⁰) est une tribu sur Ω ; 2. si Aest une tribu sur Ω, alors

A⁰ ={A⁰⊂Ω⁰, X⁻¹(A⁰)∈A} est une tribu de Ω⁰, appel´eetribu induitede A parX. 3. si C⁰⊂P(Ω⁰), alors

X⁻¹(σ(C⁰)) =σ(X⁻¹(C⁰)).

(58)

Crit` ere de mesurabilit´ e

Soient (Ω,A) et (Ω⁰,A⁰) deux espaces probabilisables, etX une application de Ω dans Ω⁰. Soit C⁰ un sous-ensemble deP(Ω⁰) tel queσ(C⁰) =A⁰. Si

X⁻¹(C⁰)⊂A, alorsX est mesurable.

Exemples :

I Si (Ω,B(Ω)) et (Ω⁰,B(Ω⁰)) sont deux espaces topologiques munis de leurs tribus bor´eliennes, alors toute application continue X de Ω dans Ω⁰ est mesurable.

I Toute fonction croissante de (R,B(R)) dans (R,B(R)) est mesurable.

(59)

Manipulations de fonctions mesurables

Propri´ et´ es

I Soientf etg deux applications mesurables :

(Ω,A)−−−−→^f (Ω⁰,A⁰)−−−−→^g (Ω⁰⁰,A⁰⁰). Alorsg ◦f est mesurable.

I Soientf : (Ω,A)→(E,B) etg : (Ω,A)→(E⁰,B⁰) deux applications mesurables. Alors l’application

v= (f,g) : (Ω,A)−→(E×E⁰,B⊗B⁰) est mesurable.

I Soientf etg deux applications mesurables à valeurs réelles, etαun réel.

Alors les applicationsαf,f +g, sup(f,g), inf(f,g) etf×g sont mesurables.

Si (fn)_n≥1est une suite de fonctions mesurables, alors les fonctions limnfn

(quand elle existe), sup_nfn, infnfn, lim sup_nfn et lim infnfn sont mesurables.

(60)

Propri´ et´ es

I Soit (fn)n une suite de fonctions mesurables de (Ω,A) dans un espace m´etrique (E,d) muni de sa tribu bor´elienne. Sifnconverge simplement vers f, alorsf est mesurable.

Preuve :SoitU un ouvert deE, et

Ur ={x ∈U, d(x,E\U)>1/r}. Alors

f⁻¹(U) =[

r

lim inf

n f_n⁻¹(U_r).

(61)

Tribu engendr´ ee par une application

D´ efinition

Soit Ω un ensemble quelconque, (Ω⁰,A⁰) un espace probabilisable, etX une application de Ω dans Ω⁰. On appelletribu engendr´ee parX, que l’on noteσ(X), la plus petite tribu sur Ω qui rendX mesurable. Elle s’´ecritσ(X) =X⁻¹(A⁰).

Remarque :une applicationX : (Ω,A)−→(Ω⁰,A⁰) est mesurable si et seulement siσ(X)⊂A.

Exemples :

I SiX est constante,σ(X) ={∅,Ω}.

I SiAest un événement etX =1A, alors (en prenant une tribu raisonnable sur l’espace d’arrivée)σ(X) ={∅,A,A,¯ Ω}.

(62)

Mesure image

D´ efinition

SoitX : (Ω,A, µ)−→(E,B) une application mesurable. On appellemesure image deµ par X la mesure not´eeµX d´efinie par

∀B ∈B, µX(B) =µ(X⁻¹(B)).

Dans le cas oùµest une probabilité,µX est une probabilité appelée loi (de probabilité) deX, oudistribution deX.

(63)

Ind´ ependance d’´ el´ ements al´ eatoires

D´ efinition

Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e, etX : (Ω,A,P)−→(E,B) et

Y : (Ω,A,P)−→(E⁰,B⁰) deux éléments aléatoires. On dit que X et Y sont indépendantssiσ(X) etσ(Y) sont deux familles indépendantes d’événements, c’est-à-dire si, pour toutsA∈B,B ∈B⁰,{X ∈A}et{Y ∈B}sont

ind´ependants.

D´ efinition

SoientX1, . . . ,Xn néléments aléatoires définis sur un même espace probabilisé, à valeurs dans des espaces probabilisables (Ei,Bi). On dit que les Xi sont

mutuellement indépendantssi les famillesσ(Xi) sont mutuellement indépendantes, c’est-à-dire si

P

n

\

i=1

{Xi ∈Ai}

!

=

n

Y

i=1

P[Xi∈Ai] ∀A1∈B1, . . . ,An∈Bn.

(64)

D´ efinition

SoitI un ensemble quelconque et (Xi)_i∈I une famille d’éléments aléatoires définis sur un même espace probabilisé. On dit que les Xi sontmutuellement

indépendantssi, pour tout sous-ensemble finiJ de I, les éléments aléatoires (Xi)i∈J sont mutuellement indépendants.

Remarque :Un élément aléatoire constant est indépendant de tout autre élément aléatoire.

Propriété :Par définition, deux éléments aléatoiresX etY sont indépendants si et seulement si

P(X,Y) =PX⊗PY .

De même, les éléments aléatoires d’une familleX = (X_i)_i∈I sont mutuellement indépendants si et seulement si

PX =O

i∈I

PXi .

(65)

Crit` ere d’ind´ ependance

D´ efinition

Un ensemble Cde sous-ensembles de Ω est appel´eπ-syst`emesi il est stable par intersection :

∀A,B∈ C, A∩B ∈ C.

Th´ eor` eme

Si C1et C2sont deuxπ-systèmes indépendants dans l’espace probabilisé (Ω,A,P), alors les tribusσ(C1) etσ(C2) sont indépendantes.

(66)

Rassemblement d’´ el´ ements al´ eatoires ind´ ependants

Soit (Xi)_i∈I une famille quelconque d’éléments mutuellement indépendants, à valeurs dans des espaces probabilisables (Ei,Bi), et (Jk)_k∈K une famille de sous-ensembles deI deux à deux disjoints (par exemple une partition de I). Alors les éléments aléatoires

(Yk)k∈K = ((Xi)i∈J_k)_k∈K

`

a valeurs dans les espaces probabilisables produits Ωk = Y

i∈J_k

Ei, Ck =O

i∈J_k

Bi

!

, k ∈K,

sont mutuellement ind´ependants.

Transformations d’´ el´ ements al´ eatoires ind´ ependants

Soit (Xi)_i∈I une famille quelconque d’éléments mutuellement indépendants, et (fi)i∈I une famille d’applications mesurables. Alors les (fi(Xi))i∈I sont

mutuellement ind´ependants.

(67)

2. Théorie générale des probabilités 5. Intégrale, espérance 57

Int´ egration

Objectif :définir dans le cadre général une espérance pour les fonctions mesurables à veleurs dansR^d, sous la forme

EX = Z

Ω

X dP. Ingr´edients :

I prolongement des définitions du cas discret ; I linéarité.

(68)

2. Théorie générale des probabilités 5. Intégrale, espérance 58

On considère un espace mesuré (Ω,A, µ). On placera toujours la tribu borélienne surR^d.

D´ efinition (Int´ egrale de fonctions indicatrices)

SiA∈A, la fonction1A est mesurable, et on définit son intégrale par rapport à la mesureµpar

Z

1Adµ= Z

Ω

1A(ω)dµ(ω) =µ(A).

D´ efinition (Int´ egrale de fonctions ´ etag´ ees)

On appellefonction étagée positiveune fonctionf : Ω→Rqui peut s’écrire sous la forme

f =

n

X

i=1

ai1A_i,

où lesa_i sont des réels positifs et lesA_i∈Asont deux à deux disjoints. On définit l’intégrale de ces fonctions par rapport à la mesureµpar

Z

f dµ=

n

X

i=1

a_iµ(A_i) =

n

X

i=1

a_i Z

1_A_idµ .