Introduction `a la th´eorie des repr´esentations g´en´eriques notes pr´eparatoires `a un mini-cours destin´e aux doctorants repr´esentationistes de l’universit´e de Paderborn (Allemagne)

Introduction ` a la th´ eorie des repr´ esentations g´ en´ eriques

notes pr´ eparatoires ` a un mini-cours destin´ e aux doctorants repr´ esentationistes de l’universit´ e de

Paderborn (Allemagne)

Aur´ elien DJAMENT

Mars 2007 (r´ evision en avril 2007)

Table des mati` eres

I Introduction et motivations 2

1 Repr´esentations des mono¨ıdes finis, propri´et´es globales des repr´esentations de familles de groupes finis et cat´egories de foncteurs 2

2 Aper¸cu de quelques r´esultats fondamentaux 3

3 Liens avec la topologie alg´ebrique 4

II Propri´ et´ es formelles des cat´ egories de foncteurs 5

4 Premi`eres propri´et´es 5

5 Foncteurs projectifs et injectifs standard 6

6 Th´eor`eme de Morita-Freyd 9

7 Adjonctions 9

III Diagrammes de recollement, foncteurs simples et foncteurs poly-

nomiaux 10

8 Rappels sur les cat´egories ab´eliennes quotients et les diagrammes de recollement 11

9 Premi`ere situation de recollement 12

10 Deuxi`eme situation de recollement : idempotents des mono¨ıdes 14 11 Troisi`eme situation de recollement : foncteurs polynomiaux 15

12 Comparaison des diff´erentes situations 17

IV Introduction aux m´ ethodes de cohomologie fonctorielle 18

13 Arguments formels : adjonctions 18

14 Utilisation de foncteurs exponentiels 19

15 Exemples de calculs explicites 21

Premi` ere partie

Introduction et motivations

Dans son article [Mit72] sur lesanneaux `a plusieurs objets, B. Mitchell explique qu’il faut voir les cat´egories lin´eairesA (i.e. dont les ensembles de morphismes sont munis d’une structure naturelle de groupe ab´elien) comme une g´en´eralisation naturelle des anneaux, et consid´erer les foncteurs additifs (i.e. qui induisent des applicationsZ-lin´eaires entre les ensembles de morphismes) deAvers la cat´egorieAbdes groupes ab´eliens comme des«modules»sur l’anneau `a plusieurs objetsA.

Notre but consiste, dans cette optique, `a ´etudier certaines cat´egories de foncteurs et leurs liens avec la th´eorie classique des repr´esentations des groupes finis, en insistant sur les m´ethodes sp´ecifiques `a l’approche fonctorielle. Le terme derepr´esentations g´en´eriquesa ´et´e introduit par N.

Kuhn dans ses trois articles [Kuh94a], [Kuh94b] et [Kuh95], o`u il s’int´eresse surtout aux groupes lin´eaires et aux cat´egories de foncteurs entre espaces vectoriels (qui sera aussi le principal cas consid´er´e dans cet expos´e).

Pr´ecis´ement, notre cadre est le suivant. Soientkun corps commutatif etC une cat´egorie petite ou essentiellement petite, nous nous int´eressons `a la cat´egorieF(C;k) =Fct(C,E<sub>k</sub>) des foncteurs de C vers la cat´egorie E<sub>k</sub> des k-espaces vectoriels, notamment `a ses objets simples et `a ses propri´et´es homologiques. Nous supposerons souvent que les ensembles de morphismes deC sontfinis(comme on n’impose aucune condition topologique, comme en th´eorie des repr´esentations classiques, des pathologies adviennent sur des groupes non finis, ou ici sur des cat´egories ne v´erifiant pas cette propri´et´e). On consid`ere tous les foncteurs de C vers Ek, mais on peut se ramener `a la situation additive de Mitchell en lin´earisant la cat´egorieC.

L’un des cas les plus riches est celui deF(k) =F(E_k^f;k), o`uE_k^f d´esigne la sous-cat´egorie pleine deEk des espaces vectoriels de dimension finie, lorsquekest un corpsfini.

1 Repr´ esentations des mono¨ıdes finis, propri´ et´ es globales des repr´ esentations de familles de groupes finis et cat´ egories de foncteurs

Un premier exemple fondamental est le suivant : supposons queCa un seul objet ; cette cat´egorie est alors d´etermin´ee par son mono¨ıde d’endomorphismesM (on noteraC=M), etF(M;k) s’iden- tifie `a la cat´egoriek[M]−moddesk[M]-modules `a gauche, o`uk[M] d´esigne l’alg`ebre de mono¨ıde deM. Nous regarderons souvent cet exemple comme une brique ´el´ementaire `a laquelle on cherche `a ramener le cas g´en´eral, mais pour bien des situations de repr´esentation des mono¨ıdes, les m´ethodes fonctorielles poss`edent un int´erˆet propre.

Exemple1.1 (fondamental). Lesk-repr´esentations du mono¨ıde de matricesM_n(k) se comprennent

`

a partir desk-repr´esentations des groupes lin´eaires GL_i(k), pour i ≤n. Nous verrons (`a la suite de Kuhn) qu’une mani`ere efficace de le voir consiste `a utiliser une cat´egorie de foncteurs auxiliaire

´equivalente `a k[Mn(k)]−mod.

Mˆeme pour ´etudier certaines questions sur les repr´esentations de groupes finis, les techniques fonctorielles ont montr´e leur efficacit´e. Supposons que l’on s’int´eresse aux propri´et´esglobales (ou

g´en´eriques) de familles infinies de groupes, comme les groupes sym´etriques ou les groupes lin´eaires (sur un corps fini, disons). Il est souvent utile de disposer d’une cat´egorie unique qui permet d’expri- mer de telles propri´et´es sur tous ces groupes, les cat´egories de foncteurs sont parfois tr`es adapt´ees.

2 Aper¸ cu de quelques r´ esultats fondamentaux

Un premier exemple est la propri´et´e de stabilisation suivante, ´etablie dans [Dwy80].

On note que pour F ∈ ObF(k), F(kⁿ) est naturellement un k[GL_n(k)]-module ; les fl`eches

´evidentes kⁿ ,→ kⁿ⁺¹ et kⁿ⁺¹ kⁿ induisent des applications lin´eaires F(kⁿ) → F(kⁿ⁺¹) et F(kⁿ⁺¹)→F(kⁿ) qui sontGLn(k)-´equivariantes. Les fl`eches de l’´enonc´e suivant en proviennent.

Th´eor`eme 2.1 (Dwyer, 1980). Supposons que F et G sont des objets polynomiaux<sup>1</sup> deF(k) (ce qui est le cas lorsqueF etGsont de longueur finie, sikest fini). Alors pour tout entieri, le syst`eme

· · · →Extⁱ_k[GLn+1(k)](F(kⁿ⁺¹), G(kⁿ⁺¹))→Extⁱ_k[GLn(k)](F(kⁿ), G(kⁿ))→ · · · (1) stabilise.

Pour l’´enonc´e suivant, on note que la cat´egorie F(k) est ab´elienne et qu’on peut y faire de l’alg`ebre homologique (nous y reviendrons).

Th´eor`eme 2.2(Betley, Suslin, 1999). Supposons que kest un corps fini et que F et Gsont deux objets de longueur finie de F(k). Alors la limite du syst`eme (1) est naturellement isomorphe `a Extⁱ_F(k)(F, G).

Ce r´esultat remarquable `a plusieurs ´egards m´erite quelques commentaires.

Remarque 2.3. 1. Dans le th´eor`eme 2.1, les cat´egories de foncteurs n’interviennent pratique- ment que pour formuler le r´esultat ; pour ´etablir le th´eor`eme 2.2, Suslin (voir l’appendice de [FFSS99]) emploie de fa¸con essentielle un argument d’annulation en cohomologie fonctorielle qui ne se ram`ene `a aucun r´esultat analogue dans un contexte repr´esentationiste classique.

L’approche de Betley (voir [Bet99]), ind´ependante de celle de Suslin, utilise plutˆot les foncteurs polynomiaux stricts, que nous ´evoquerons un peu plus tard.

2. Le th´eor`eme 2.2 a ´et´e popularis´e sous la forme

THH (homologie de Hochschild topologique) =K−th´eorie stable.

En effet, la limite du syst`eme (1) peut s’interpr´eter comme un groupe de K-th´eorie stable de k, tandis que les groupes Ext<sup>i</sup><sub>F(k)</sub>(F, G) sont isomorphes `a des groupes d’homologie de Hochschild topologique d’apr`es un r´esultat de Pirashvili et Waldhausen (cf. [PW92]). Cette identification est rest´ee plusieurs ann´ees conjecturale.

3. Scorichenko a ´etendu, dans sa th`ese de doctorat, l’isomorphisme entre K-th´eorie stable et cohomologie fonctorielle donn´ee par le th´eor`eme 2.2 `a un anneau quelconque.

4. Le th´eor`eme 2.1 pr´esente un int´erˆet significatif pour les calculs de cohomologie stabilis´ee des groupes lin´eaires sur les corps finis (limite du syst`eme (1)), a priori extrˆemement difficile d’acc`es. En effet, nous verrons que l’on dispose de nombreux outils pour mener des calculs de groupes d’extension dansF(k).

L’identification de la cohomologie fonctorielle `a des th´eories cohomologiques vari´ees apparaissant dans d’autres contextes ne se limite pas aux cas de laK-th´eorie stable et de THH d´ej`a mentionn´es.

L’un des premiers exemples historiquement est celui de lacohomologie de Mac Lane, une th´eorie cohomologique sur les anneaux introduite par Mac Lane dans les ann´ees 50 (cf. [ML57]) `a partir de consid´erations topologiques. Cette th´eorie a ´et´e peu ´etudi´ee jusqu’`a ce que Jibladze et Pirashvili

1Cette notion sera d´efinie pr´ecis´ement dans la suite de cet expos´e.

ne l’identifient en 1991 (cf. [JP91]) comme un avatar de la cohomologie fonctorielle, beaucoup plus facile `a calculer.

Un autre cas important est fourni par les Γ-modules, i.e. les objets de la cat´egorieF(Ens^f_∗, k), o`uEns<sup>f</sup><sub>∗</sub> est la cat´egorie des ensembles finis point´es. Les Γ-modules sont reli´es `a diff´erentes th´eories cohomologiques classiques comme la cohomologie de Hochschild (cf. [PR02]) et la cohomologie d’Andr´e-Quillen (cf. [Pir03]).

Signalons maintenant l’int´erˆet fondamental desfoncteurs polynomiaux stricts: ce sont les objets d’une cat´egorie de foncteursP(k) assez analogue `aF(k), mais qui se ram`eneexactement`a la th´eorie des repr´esentations, en ce sens qu’elle se scinde en la somme directe de cat´egories de modules sur des alg`ebres de Schur. Pour autant, nombre des m´ethodes de calcul cohomologique dansP(k) reposent sur des m´ethodes tout-`a-fait similaires `a celles deF(k), donc ext´erieures `a la th´eorie ordinaire des repr´esentations.

Ces foncteurs ont ´et´e introduits par Friedlander et Suslin dans l’article [FS97], qui identifie les groupes d’extensions dansP(k) `a des groupes de cohomologie rationnelle<sup>2</sup> du sch´ema en groupes GL<sub>n</sub>. Le r´esultat majeur de ce papier est que la cohomologie rationnelleH<sup>∗</sup>(G, k) d’un sch´ema en groupes finiG`a coefficients danskest unek-alg`ebre de type fini, et que la cohomologie rationnelle deG`a coefficients dans unG-module rationnel de dimension finie est une alg`ebre de type fini sur H^∗(G, k).

Nous esp´erons maintenant l’auditoire convaincu de l’int´erˆet de la cohomologie fonctorielle. Si- gnalons quelques r´esultats fondamentaux obtenus en la mati`ere. Le premier est ´etabli dans [FLS94], o`u il est donn´e sous une forme plus pr´ecise (la structure multiplicative est d´etermin´ee).

Th´eor`eme 2.4 (Franjou, Lannes, Schwartz, 1994). Supposons que kest un corps fini et notons I le foncteur d’inclusionE_k^f → E_k.

L’espace vectorielExtⁱ_F(k)(I,I)est de dimension 1 siiest un entier naturel pair et est nul pour iimpair.

Dans l’article [FFSS99], Franjou, Friedlander, Scorichenko et Suslin effectuent des calculs en- core plus ´elabor´es, donnant notamment une description compl`ete des groupes d’extensions entre deux puissances ext´erieures et entre deux puissances sym´etriques. Nous ne donnons pas le r´esultat complet, qui s’´enonce de mani`ere assez technique (les objets calcul´es sont d´ecrits comme alg`ebres de Hopf tri-gradu´ees), et nous contenterons d’´enoncer un cas beaucoup plus ´el´ementaire, obtenu un peu plus tˆot dans [Fra96], que nous d´emontrerons `a la fin de ce mini-cours.

Th´eor`eme 2.5(Franjou, 1996). Les groupes d’extensionsExt¹_F(F2)entre deux puissances ext´erieures sont donn´es par Ext¹_F(F2)(Λⁱ,Λ^j)'F2 si|i−j|= 1et i, j >0 et sont nuls sinon.

Mentionnons pour terminer que l’article [FFSS99] ´etablit des liens cohomologiques pr´ecis entre F(k) etP(k), et donne des r´esultats `a la fois en termes de foncteurs usuels et de foncteurs strictement polynomiaux. Nous parlerons des m´ethodes utilis´ees pour effectuer ces calculs dans la derni`ere partie de cet expos´e.

3 Liens avec la topologie alg´ ebrique

La motivation initiale `a l’´etude syst´ematique de la cat´egorieF(k) remonte aux travaux de Henn, Lannes et Schwartz du d´ebut des ann´ees 1990 (cf. [HLS93]) qui ont ´etabli un lien fondamental entre F(Fp) (o`u p est un nombre premier) et la cat´egorie des modules instables sur l’alg`ebre de Steenrod modulop. Sans d´etailler ces r´esultats, rappelons que la cohomologie modulopd’un espace topologique est naturellement un module (et mˆeme une alg`ebre) gradu´e sur l’alg`ebre de Steenrod modulop, not´ee A<sub>p</sub>, qui poss`ede une propri´et´e additionnelle nomm´ee instabilit´e. Les travaux de Lannes (cf. [Lan92]) ont montr´e que l’´etude alg´ebrique de la cat´egorieU_p des modules instables sur Apposs`ede des applications topologiques profondes.

2La d´efinition de ce terme d´epasse le cadre de cet expos´e.

L’aspect purement alg´ebrique des r´esultats de Henn, Lannes et Schwartz a ´et´e retravaill´e par Kuhn, qui a montr´e dans [Kuh94a] comment construire l’alg`ebre de Steenrod et la cat´egorie U_p en partant simplement de F(F^p) ; Powell a g´en´eralis´e ces consid´erations dans [Pow05]. Enfin, r´ecemment Powell a calcul´e l’anneau d’endomorphismes de la cohomologie des espaces d’Eilenberg- Mac Lane associ´es aux groupes (Z/2Z)ⁿ dans la cat´egorie U2. Il a utilis´e pour cela le travail de [HLS93] et des calculs fins dans la cat´egorieF(F2).

Deuxi` eme partie

Propri´ et´ es formelles des cat´ egories de foncteurs

Dans cette partie, on donne quelques propri´et´es g´en´erales des cat´egories de foncteurs du type F(C, k) qui se d´eduisent de r´esultats g´en´eraux de th´eorie des cat´egories. On pourra se reporter `a [ML71], [Bor94], [Gro57], [Gab62] ou [Pop73].

Convention 3.1. Dans toute la suite de cet expos´e, on se fixe une cat´egorie (essentiellement) petiteC.

L’hypoth`ese de petitesse permet d’assurer que les classes de morphismes dans Fct(C,A) sont des ensembles (nous ferons cette hypoth`ese sur toutes les cat´egories).

4 Premi` eres propri´ et´ es

Les r´esultats ´el´ementaires qui suivent peuvent se trouver dans [ML71].

Proposition 4.1. SoitD une cat´egorie. SiD poss`ede des sommes, produits, limites ou colimites respectivement, alors il en est de mˆeme pourFct(C,D)et celles-ci se calculent au but : dans le cas des produits, par exemple, on a

Y

i∈I

Fi

(E) =Y

i∈I

Fi(E) pour toutE∈ObC.

On rappelle qu’une cat´egorie additive est une cat´egorie avec sommes et produits finis qui co¨ıncident³.

Corollaire 4.2. SiAest une cat´egorie additive, alorsFct(C,A) est une cat´egorie additive.

Proposition 4.3. SiA est une cat´egorie ab´elienne, alors Fct(C,A) est une cat´egorie ab´elienne ; de plus, l’exactitude se teste au but : une suite de foncteursF →G→H est exacte si et seulement si la suiteF(E)→G(E)→H(E)est exacte pour toutE∈ObC.

Corollaire 4.4. La cat´egorieF(C;k)est une cat´egorie ab´elienne poss´edant des limites et des coli- mites ; de plus, les colimites filtrantes y sont exactes.

Autre structure surF(C;k)se calculant au but: le produit tensoriel, encore not´e⊗. Comme celui deEk, il d´efinit une structure mono¨ıdale sym´etrique sur F(C;k) ; ce bifoncteur est exact en chaque variable.

Notation 4.5. – Pour tout foncteurF :A → B, nous noteronsF_∗:Fct(C,A)→Fct(C,B) le foncteur de postcomposition parF, donn´e sur les objets parF_∗(G) =F◦G.

3Il faut ´egalement supposer l’existence d’un oppos´e aux morphismes identit´es pour assurer que les ensembles de morphismes sont naturellement non seulement desmono¨ıdes, mais aussi desgroupesab´eliens — cf. [ML71].

– Pour tout foncteur F : C → D, avec D (essentiellement) petite, et toute cat´egorie A, nous noterons F^∗ : Fct(D,A) → Fct(C,A) le foncteur de pr´ecomposition par F, donn´e sur les objets parF^∗(G) =G◦F.

Remarque 4.6. 1. Intuitivement, le foncteur de postcomposition parF h´erite des propri´et´es de r´egularit´e deF, mais pas plus. SiF est exact, par exemple, alorsF∗ est exact.

2. En revanche, les foncteurs de pr´ecomposition sont toujours tr`es r´eguliers : la proposition 4.1 montre qu’ils commutent toujours aux limites et aux colimites, et la proposition 4.3 qu’ils sont exacts (si le but est ab´elien). DansF(C;k), ils commutent ´egalement au produit tensoriel.

Proposition 4.7. 1. Si le foncteur F : A → B est adjoint `a gauche `a G : B → A, alors F_∗:Fct(C,A)→Fct(C,B)est adjoint `a gauche `aG_∗.

2. Si le foncteurF :C → Dest adjoint `a gauche `aG:D → C, alorsF^∗:Fct(D,A)→Fct(C,A) est adjoint `a droite `aG^∗.

D´efinition 4.8 (Dualit´e entre F(C;k) et F(C^op;k)). On note D_C,k (ou D s’il n’y a pas d’am- bigu¨ıt´e) le foncteur F(C;k)^op → F(C^op;k) compos´e de l’identification canonique F(C;k)^op −^'→ Fct(C^op,(E_k)^op) et du foncteur de postcomposition par le foncteur de dualit´ed_k: (E_k)^op→ E_k V 7→

V^∗= hom_k(V, k).

Commedk est adjoint `a droite `ad^op_k :Ek → E_k^op, la proposition 4.7 montre queD_C,k est adjoint

`

a droite `a D_C^opop,k. L’exactitude dedk entraˆıne celle deDC,k.

Dans la cat´egorie F(k), on dispose d’un foncteur d’auto-dualit´e, car le foncteur dk induit une

´equivalence de cat´egories (E_k^f)^op→ E_k^f qui permet d’identifierF(k) `a Fct((E_k^f)^op,E_k). On obtient ainsi un foncteurD_k :F(k)^op→ F(k) tel que D_k(F)(V) =F(V^∗)^∗.

Exemple 4.9. 1. Soit Tⁿ ∈ ObF(k) le foncteur n-i`eme puissance tensorielle : Tⁿ(V) = V^⊗n. AlorsTⁿ est auto-dual : D(Tⁿ) 'Tⁿ (en fait la condition d’auto-dualit´e est une condition un peu plus forte — cf. [PS98] — mais cette subtilit´e sera sans incidence pour nous).

2. SoitSⁿle foncteurn-i`eme puissance sym´etrique et Γ<sup>n</sup>(V) le foncteurn-i`eme puissance divis´ee : Sⁿ(resp. Γⁿ) s’obtient en prenant le quotient (resp. les invariants) deTⁿpar l’action naturelle du groupe sym´etrique Σnpar permutation des facteurs. AlorsSⁿ et Γⁿsont duaux :D(Sⁿ)' Γⁿ et D(Γⁿ)'Sⁿ.

3. Soit Λⁿ le foncteur n-i`eme puissance ext´erieure. Ce foncteur est auto-dual :D(Λⁿ)'Λⁿ. Exemple 4.10. On dispose dansF(F2) d’une suite exacte non scind´ee

0→S¹→S²→Λ²→0

dont la premi`ere fl`eche est le morphisme de Frobenius et la seconde la projection canonique.

5 Foncteurs projectifs et injectifs standard

Pour C ∈ObC on d´efinit un objet P_C^C (not´e simplementPC si l’on est dansF(k)) deF(C;k) comme le foncteur compos´e

P_C^C :C−−−−−−−→^homC(C,−) Ens−^k[−]−−→ Ek.

Icik[−] d´esigne le foncteur dek-lin´earisation:k[E] =k^⊕E; ce foncteur est adjoint `a gauche au foncteur d’oubliEk →Ens. On notera ´egalement [e], sieest un ´el´ement d’un ensembleE, l’´el´ement de la base canonique dek[E] correspondant `a e.

Proposition 5.1(Lemme de Yoneda). – ensembliste : il existe une bijection naturelle hom_Fct(C,Ens)(homC(C,−), F)'F(C)

pour tousC∈ObC etF ∈ObFct(C,Ens).

– k-lin´eaire: il existe une bijection naturelle

hom_F(C;k)(P_C^C, F)'F(C) pour tousC∈ObC etF ∈ObF(C;k).

D´emonstration. Pour le cas ensembliste classique, on rappelle simplement comment s’obtient la bijection :

hom_Fct(C,Ens)(hom_C(C,−), F)→F(C) u7→uC(idC) dans un sens et

F(C)→hom_Fct(C,Ens)(homC(C,−), F) c7→(f ∈homC(C, D)7→F(f)(c)∈F(D))D∈ObC

dans l’autre.

Le cask-lin´eaire s’en d´eduit par un argument d’adjonction : commek[−] est adjoint `a gauche `a l’oubliO:Ens→ E_k, la postcompositionk[−]_∗:Fct(C,Ens)→ F(C;k) est adjointe `a gauche `a la postcompositionO_∗. Ainsi, on a des isomorphismes naturels

hom_F(C;k)(P_C^C, F) = hom_F(C;k)(k[−]_∗(hom_C(C,−)), F)'hom_Fct(C,Ens)(hom_C(C,−), O_∗(F)) 'O_∗(F)(C) =F(C).

Cette proposition et son corollaire suivant constituent l’outil de base le plus important dans l’´etude de la cat´egorieF(C;k).

Corollaire 5.2. 1. Pour toutC∈ObC, le foncteurP_C^C est un objet projectif deF(C;k).

2. LorsqueC parcourt un squeletteSql(C)deC, lesP_C^C d´ecrivent un ensemble de g´en´erateurs de la cat´egorie F(C;k); plus pr´ecis´ement, pour tout F∈ObF(C;k), le morphisme tautologique

M

C∈Sql(C) c∈F(C)

P_C^C →F

(dont la composante P_C^C →F index´ee par c∈F(C) est le morphisme correspondant `a c par l’isomorphisme de Yoneda) est surjectif.

3. La cat´egorie F(C;k) est une cat´egorie de Grothendieck, i.e. une cat´egorie ab´elienne avec colimites exactes et un g´en´erateur.

On rappelle qu’un ensemble Ed’objets projectifs d’une cat´egorie ab´elienne avec sommesAest g´en´erateur s’il existe un ´epimorphisme d’une somme directe convenable d’objets deEsur tout objet deA.

Les foncteursP_C^C sont appel´es foncteursprojectifs standarddeF(C;k).

Exemple 5.3 (Produit tensoriel de foncteurs projectifs standard). Supposons que la cat´egorie C poss`ede des coproduits finis. On a alors un isomorphisme canoniqueP<sub>C</sub><sup>C‘</sup><sub>D</sub>'P<sub>C</sub><sup>C</sup> ⊗P<sub>D</sub><sup>C</sup> (cela vaut en particulier dansF(k)). On en d´eduit facilement que le produit tensoriel de deux objets projectifs de F(C, k) est alors encore projectif. Ce n’est en g´en´eral pas le cas lorsque C ne poss`ede pas de coproduits finis (exercice).

Corollaire 5.4. SoientC etD deux objets de C.

1. Le k-espace vectoriel hom_F(C;k)(P_C^C, P_D^C) est naturellement isomorphe `ak[hom_C(D, C)].

2. La k-alg`ebre End<sub>F(C;k)</sub>(P<sub>C</sub><sup>C</sup>) est naturellement isomorphe `a l’alg`ebre oppos´ee `a la k-alg`ebre k[EndC(C)] du mono¨ıdeEndC(C).

La derni`ere assertion montre que le probl`eme de d´ecomposer P_C^C en somme directe de fonc- teurs projectifs ind´ecomposables revient `a celui de d´ecomposer l’alg`ebre k[End_C(C)] en somme directe de k[End_C(C)]-modules projectifs ind´ecomposables. C’est donc purement un probl`eme de k-repr´esentations du mono¨ıdeEnd<sub>C</sub>(C). Lorsque ce mono¨ıde est fini (en particulier, si l’on suppose que les ensembles de morphismes dansC sont finis), le probl`eme a une solution :P_C^C se d´ecompose en somme directe finie de foncteurs projectifs ind´ecomposables, qui sont de plus uniques `a isomor- phisme et `a l’ordre des facteurs pr`es.

Un exemple de pr´esentation projective explicite dansF(k).On consid`ere le foncteur I('Λ¹'T¹...) de l’introduction. La suite

k^×⊗Pk²

−→g Pk

−→f I→0

o`uf correspond `a l’´el´ement 1 dek= I(k)'hom_F(k)(Pk,I) etg`a l’´el´ementλ7→[(λ,1)]−λ[(1,0)]− [(0,1)] dek[k²]^k× 'hom_F(k)(k^×⊗P_k2, P_k) est exacte.

Explicitement, on af([v]) =vet g([v, w]) = [λv+w]−λ[v]−[w] pourV ∈ObE_k^f etv, w∈V. Si le corpsk est premier, on dispose d’une pr´esentation projective

Pk² →Pk

−→f I→0 (il suffit de ne conserver que le casλ= 1 dans ce qui pr´ec`ede).

Les foncteurs injectifs standard de F(C;k). C’est la situation duale de la pr´ec´edente : pour C∈ObC= ObC^op, on pose

I_C^C =D_Cop,k(P_C^Cop).

DansF(k), on note simplement I_V ces foncteurs.

Explicitement, on a

I_C^C(A) =k^homC(A,C)

car le dual de l’espace vectoriel k[E] est canoniquement isomorphe `a l’espace vectoriel k^E des fonctions deE dansk.

Exemple 5.5. Si la cat´egorieC poss`ede des produits finis et que ses ensembles de morphismes sont finis, on aI_C×D^C 'I_C^C ⊗I_D^C. C’est notamment le cas dansF(k) si le corpsk est fini.

Par adjonction, on a des isomorphismes naturels

hom_F(C;k)(F, I_C^C)'hom_F(C^op;k)(P_C^Cop, D(F))'D(F)(C) =F(C)^∗. On en d´eduit :

Proposition 5.6. 1. Les foncteursI_C^C sont des objets injectifs deF(C;k). On les appelleinjec- tifs standarddeF(C;k).

2. Ils constituent une famille de cog´en´erateurs deF(C;k)lorsqueC d´ecrit un squelette deC.

Exemple5.7 (fondamental). Consid´erons le morphismeL

n∈NSⁿ→I_kdeF(k) dont la composante Sⁿ→Ikcorrespond `a 1∈k'S<sup>n</sup>(k)<sup>∗</sup>'hom<sub>F(k)</sub>(S<sup>n</sup>, Ik). Sur un espace vectorielV, il est donn´e par la fonctionS<sup>∗</sup>(V)→k<sup>V∗</sup> qui `a un ´el´ement deS^∗(V), qui s’identifie canoniquement `a un polynˆome sur V<sup>∗</sup>, associe l’application polynomiale V<sup>∗</sup> → k qu’il induit (c’est donc un morphisme de k- alg`ebres). Ainsi, ce morphisme est injectif sik est infini et surjectif sikest fini. Nous reviendrons ult´erieurement sur cet exemple.

6 Th´ eor` eme de Morita-Freyd

Th´eor`eme 6.1. SoientAune cat´egorie ab´eliennek-lin´eaire (i.e. dont les ensembles de morphismes sont munis d’une structure de k-espace vectoriel naturelle) poss´edant des sommes directes quel- conques etP un ensemble de g´en´erateurs projectifs petitsde A, c’est-`a-dire tels que les foncteurs hom_A(P,−)commutent aux sommes directes (arbitraires).

AlorsAest ´equivalente `a la cat´egorieAP des foncteurs k-lin´eaires (i.e. induisant des fonctions k-lin´eaires entre les ensembles de morphismes) de P<sup>op</sup> (o`u l’on voit P comme une sous-cat´egorie pleine deA) versEk.

Esquisse de d´emonstration. On d´efinit un foncteur α : A → AP en associant `a un objet A la restriction du foncteur hom<sub>A</sub>(−, A). Le lemme de Yoneda et le fait que P est un ensemble de g´en´erateurs deAimpliquent queαest un foncteur pleinement fid`ele.

L’hypoth`ese que les ´el´ements deP sont projectifs et petits implique que le foncteurαcommute aux colimites. Pour v´erifier queαest essentiellement surjectif, il suffit donc de d´emontrer (puisqu’on sait d´ej`a qu’il est pleinement fid`ele), qu’il atteint un ensemble de g´en´erateurs de la cat´egorie but A_P. Pour cela, on constate que les ´el´ements de P s’envoient par αsur les g´en´erateurs projectifs standard deA_P d´eduits du lemme de Yoneda.

Remarque 6.2. – Le th´eor`eme classique de Morita s’obtient lorsqueAest une cat´egorie de mo- dules et queP a un ´el´ement. La version pr´ec´edente est due `a Freyd.

– Si l’on prend pour A la cat´egorie F(C, k) et pour P l’ensemble des g´en´erateurs projectifs standard deC(se restreindre `a un squelette), qui sont bien petits, le corollaire 5.4 montre que les foncteursk-lin´eaires deP^op versEk s’identifient aux foncteurs deCversEk.

– Si P a un seul ´el´ement P, alors la cat´egorieAP est ´equivalente `a la cat´egorie des EndA(P)- modules `a droite.

– LorsquePest fini, on peut se ramener au cas `a un seul ´el´ement en consid´erant la somme directe de ses ´el´ements. Par cons´equent, on voit en consid´erant les g´en´erateurs projectifs standard queF(C;k) est ´equivalente `a une cat´egorie de modules lorsqueCa un squelette fini.

Exemple6.3 (fondamental). Consid´erons la cat´egorie«tronqu´ee»E_k^≤n desk-espaces vectoriels de dimension au plus n. La cat´egorie de foncteurs F(E_k^≤n;k) est engendr´ee par le foncteur projectif P^E

≤n k

kⁿ — en effet, pourV de dimension au plusn,V est facteur direct dekⁿ, doncP^E

≤n k

V est facteur direct de P^E

≤n k

kⁿ . Comme l’anneau d’endomorphismes de P^E

≤n k

kⁿ est isomorphe `a l’anneau oppos´e `a k[Mn(k)], on d´eduit du th´eor`eme de Freyd-Morita queF(E<sub>k</sub><sup>≤n</sup>;k) est ´equivalente `ak[Mn(k)]−mod.

7 Adjonctions

Le r´esultat suivant est un corollaire du th´eor`eme des foncteurs adjoints de Freyd.

Th´eor`eme 7.1. SoientAune cat´egorie de Grothendieck etCune cat´egorie quelconque. Tout fonc- teur A → C qui commute aux limites (resp. aux colimites) poss`ede un adjoint `a gauche (resp. `a droite).

Dans la cat´egorieF(C;k), on en d´eduit l’utile corollaire suivant.

Corollaire 7.2. 1. Pour tout foncteurF :C → D(o`uDest essentiellement petite), le foncteur de pr´ecompositionF<sup>∗</sup>:F(D;k)→ F(C;k)poss`ede un adjoint `a droite et un adjoint `a gauche.

2. Soit A un objet deF(C;k). L’endofoncteur − ⊗AdeF(C;k)poss`ede un adjoint `a droite. Si A prend des valeurs de dimension finie, il poss`ede ´egalement un adjoint `a gauche.

Nous allons maintenant nous int´eresser `a des cas (duaux) o`u un foncteur de pr´ecomposition et foncteur produit tensoriel sont adjoints.

Proposition 7.3. Soient F un endofoncteur deC et T un objet de Fct(C,Ens) tels qu’il existe une bijection

hom_C(F(V), W)'hom_C(V, W)×T(W) naturelle en les objetsV etW deC.

Alors l’endofoncteurF^∗ deF(C;k) est adjoint `a droite `a− ⊗k[T].

D´emonstration. L’hypoth`ese fournit, en lin´earisant, un isomorphisme naturel P_V^C⊗k[T]'P_F(V^C ₎.

SoitGl’adjoint `a droite `a− ⊗k[T]. Pour tousV ∈ObC,A,B∈ObF(C;k), on a des isomor- phismes naturels

G(A)(V)'hom_F(C;k)(P_V^C, G(A))'hom_F(C;k)(P_V^C⊗k[T], A) 'hom_F(C;k)(P_F^C_(V), A)'A(F(V)) =F^∗(A)(V), d’o`u la conclusion.

Un cas particulier fondamental de cette proposition est celui o`u l’on suppose queC admet des coproduits finis : les foncteursF =−`CetT = hom_C(C,−) conviennent alors pour toutC∈ObC.

La proposition suivante est la variante duale de la proposition 7.3 ; elle se d´emontre de fa¸con analogue.

Proposition 7.4. Soient F un endofoncteur de C et T un objet de Fct(C^op,Ens^f) (o`u Ens^f d´esigne la cat´egorie des ensembles finis) tels qu’il existe une bijection

hom_C(V, F(W))'hom_C(V, W)×T(V) naturelle en les objetsV etW deC.

Alors le foncteurF^∗ est adjoint `a gauche `a− ⊗k^T.

Un cas fondamental est celui o`u C admet des produits finis et a des ensembles de morphismes finis : les foncteursF=− ×C etT = hom_C(−, C) conviennent alors.

Foncteurs de d´ecalage. Supposons que C est une cat´egorie additive et que ses ensembles de morphismes sont finis (c’est notamment le cas deE_k^f sikest un corps fini). D´efinissons, pour tout objetAdeC, lefoncteur de d´ecalage∆^C_A(ou simplement ∆_A) comme la pr´ecomposition par− ⊕A.

Les propositions pr´ec´edentes montrent que ∆^C_Aest adjoint `a droite `a− ⊗P_A^C et `a gauche `a − ⊗I_A^C. Foncteur diff´erence.Dans la situation pr´ec´edente, l’associationA7→∆^C_Aest fonctorielle. Comme la compos´ee 0 →A→0 est l’identit´e, on en d´eduit une compositionid'∆ →∆A →id´egale `a l’identit´e, soit un scindement ∆<sup>C</sup><sub>A</sub> 'id⊕∆¯<sup>C</sup><sub>A</sub>. Le foncteur ¯∆<sup>C</sup><sub>A</sub> est adjoint `a droite `a − ⊗P¯<sub>A</sub><sup>C</sup> et `a gauche `a− ⊗I¯<sub>A</sub><sup>C</sup>, o`u ¯P_A^C et ¯I_A^C sont d´efinis par les scindementsP_A^C 'k⊕P¯_A^C et I_A^C 'k⊕I¯_A^C.

Dans F(k), le foncteur ¯∆k est not´e simplement ∆ et est appel´efoncteur diff´erence; c’est l’un des principaux outils pour ´etudier cette cat´egorie.

Troisi` eme partie

Diagrammes de recollement, foncteurs simples et foncteurs polynomiaux

Le but de cette partie consiste `a d´ecrire quelques m´ethodes pour classifier les objets simples des cat´egories de foncteursF(C;k) et de les appliquer notamment `aF(k).

8 Rappels sur les cat´ egories ab´ eliennes quotients et les dia- grammes de recollement

Dans cette section,Ad´esigne une cat´egorie ab´elienne.

D´efinition 8.1. Une sous-cat´egorie ´epaissede Aest une sous-cat´egorie pleineC qui contient 0 et telle que pour toute suite exacte 0→B →A→C →0 deA,A appartient `a C si et seulement si B etC appartiennent `aC.

On constate que si F : A → Best un foncteur exact deA dans une autre cat´egorie ab´elienne, alors le noyau deF (i.e. la sous-cat´egorie pleine des objets deA envoy´es sur 0 par F) est ´epaisse.

La r´eciproque est donn´ee par la notion de cat´egorie quotient : si C est une sous-cat´egorie ´epaisse deA(`a supposerlocalement petite, i.e. telle que les sous-objets d’un objet forment un ensemble — c’est le cas d’une cat´egorie de Grothendieck, par exemple), la cat´egorieA/Ca les mˆemes objets que Aet ses morphismes sont donn´es par

hom_A/C(X, Y) = colim

X⁰⊂X,X/X⁰∈ObC Y⁰⊂Y,Y⁰∈ObC

hom_A(X⁰, Y /Y⁰).

La composition des morphismes de A/C est induite par celle de A en un sens convenable, de sorte qu’il existe un foncteurA → A/C, appel´efoncteur canonique, ´egal `a l’identit´e sur les objets et `a l’application canonique sur les morphismes.

On montre que A/C est une cat´egorie ab´elienne, que le foncteur canonique est exact et a pour noyauC; de plus, tout foncteur exact deAvers une autre cat´egorie ab´elienne dont le noyau contient Cse factorise de mani`ere unique en un foncteur exact de sourceA/C par le foncteur canonique.

D´efinition 8.2 (Recollements). Undiagramme de recollementest un diagramme du type

Cvv ^qi //A ^e //

p

hh B

uu l r

ii

dans lequel :

– A,Bet Csont des cat´egories ab´eliennes.

– Le foncteurlest adjoint `a gauche `aeeteest adjoint `a gauche `ar(en particulier,eest exact).

– L’unit´eid_B→elet la co¨unit´eer→id_B sont des isomorphismes.

– Le foncteurqest adjoint `a gauche `aietiest adjoint `a gauche `ap(en particulier,iest exact).

– L’unit´eid_C→piet la co¨unit´eqi→id_C sont des isomorphismes.

– Le foncteuri est un plongement pleinement fid`ele d’image ker e(en particulier,i identifieC

`

a une sous-cat´egorie ´epaisse deA).

On v´erifie ais´ement que dans cette situation, le foncteureinduit une ´equivalenceA/C−^'→ B.

La notion de recollement a ´et´e introduite par les g´eom`etres alg´ebristes dans le contexte plus g´en´eral des cat´egories triangul´ees.

Dans la suite de cette section, nous supposons donn´e un diagramme de recollement comme dans la d´efinition pr´ec´edente et allons donner la description des objets simples (i.e. non nuls et sans sous-objet non trivial) deA`a partir de ceux deBet de C.

D´efinition 8.3. On appelleprolongementd’un objetX deBla donn´ee d’un objetAdeAet d’un isomorphismee(A)−^'→X.

L’isomorphisme sera souvent omis lorsqu’il est ´evident.

Exemple 8.4. Les objetsl(X) etr(X) sont des prolongements deX.

Proposition et d´efinition 8.5 (Prolongement interm´ediaire). Soit X un objet de B; notons γX :l(X)→r(X)le morphisme adjoint `a l’inverse de la co¨unit´e er(X)−^'→X etc(X) l’image de γX. Noter que l’on a ainsi d´efini un foncteurB → A.

1. Le morphismeec(X)→er(X)'X, dont la premi`ere fl`eche est induite par l’inclusionc(X)→ r(X), fait de c(X) un prolongement naturel de X. On l’appelle prolongement interm´ediaire deX.

2. Le prolongement interm´ediaire d’un objet simple de B est un objet simple de A.

3. L’image par le foncteur id’un objet simple de C est un objet simple de A.

4. Les deux points pr´ec´edents d´efinissent une bijection {objets simples deB}/' a

{objets simples deC}/'

' {objets simples deA}/' .

9 Premi` ere situation de recollement

Proposition 9.1. Soit i : D → C un foncteur pleinement fid`ele. Notons G et H les foncteurs F(D;k) → F(C;k) adjoints respectivement `a gauche et `a droite au foncteur de restriction i^∗ : F(C;k)→ F(D;k).

1. L’unit´e id → i^∗G de la premi`ere adjonction et la co¨unit´e i^∗H → id de la seconde sont des isomorphismes.

2. Le foncteur i^∗ est essentiellement surjectif.

3. Le foncteur i^∗ transforme un objet simple deF(C;k)en un objet nul ou simple de F(D;k).

D´emonstration. Pour tout objetE deD, on a des isomorphismes hom_F(C;k)(G(P_E^D), X)'hom_F(D;k)(P_E^D, i^∗X) '(i^∗X)(E) =X(i(E))'hom_F(C;k)(P_i(E)^C , X)

naturels en l’objet X deF(C;k), d’o`u par le lemme de Yoneda G(P<sub>E</sub><sup>D</sup>)'P<sub>i(E)</sub><sup>C</sup> . La pleine fid´elit´e de i fournit d’autre part un isomorphisme canonique i<sup>∗</sup>P<sub>i(E)</sub><sup>C</sup> ' P<sub>E</sub><sup>D</sup>, ce qui montre que l’unit´e X → i<sup>∗</sup>G(X) est un isomorphisme lorsque X est un projectif standard de F(D;k). Comme les foncteursi<sup>∗</sup>etGcommutent `a toutes les colimites et que les projectifs standard engendrentF(D;k), on en d´eduit la premi`ere assertion (utiliser une pr´esentation de X par des sommes directes de projectifs standard et le lemme des cinq).

L’assertion relative `a l’adjoint `a droiteHse montre de fa¸con analogue en utilisant les cog´en´erateurs injectifs standard.

Comme i^∗ a un inverse `a gauche, il est essentiellement surjectif. Si S est un objet simple de F(C;k) et X → i^∗S un monomorphisme de F(D;k), avec X non nul, l’adjoint G(X) → S est surjectif car non nul, donc en appliquant le foncteur exact i^∗, on en d´eduit un ´epimorphisme i^∗G(X)i^∗(S), qui via l’isomorphismeX 'i^∗G(X) s’identifie au morphisme initial. Cela prouve quei^∗S est soit nul soit simple.

Corollaire 9.2. Pour tout objet E deC, le foncteur d’´evaluation F(C;k)→ k[End_C(E)]−mod est essentiellement surjectif et envoie un foncteur simple sur une repr´esentation nulle ou simple du mono¨ıdeEnd_C(E).

C’est le cas particulier du plongement pleinement fid`ele End_C(E),→ C d’imageE dans l’´enonc´e pr´ec´edent.

On constate que la proposition 9.1 fournit la«moiti´e droite»d’un diagramme de recollement.

F(C;k) i^∗ //F(D;k)

qq G

H

mm

Nous pr´esentons maintenant des cas o`u l’on peut obtenir `a partir de l`a un diagramme de recol- lement complet.

Proposition et d´efinition 9.3. SoitDune sous-cat´egorie pleine deC.

1. Supposons que siA etB sont deux objets de DetX un objet deC tels quehom_C(A, X)6=∅ ethom_C(X, B)6=∅, alorsX est objet deD. On peut alors d´efinir un foncteurP :F(D;k)→ F(C;k), appel´eprolongement par z´ero, par P(F)(X) =F(X) siX ∈ObD etP(F)(X) = 0 sinon ; l’action sur les morphismes est d´efinie de fa¸con analogue. Ce foncteur de prolongement par z´ero est exact ; il commute mˆeme `a toutes les limites et colimites.

2. Nous dirons que D est unesous-cat´egorie compl`ete `a gauche deC si pour tout objetE deC, E est objet deDd`es quehom<sub>C</sub>(E, X)6=∅pour un objetX deD. D’apr`es le point pr´ec´edent, on peut alors d´efinir le prolongement par z´ero P :F(D;k)→ F(C;k). Il est adjoint `a droite au foncteur de restrictionR:F(C;k)→ F(D;k).

3. Nous dirons que D est une sous-cat´egorie compl`ete `a droite deC si pour tout objetE deC, E est objet de Dd`es que hom<sub>C</sub>(X, E)6=∅pour un objet X deD. D’apr`es le premier point, on peut alors d´efinir le prolongement par z´eroP :F(D;k)→ F(C;k). Il est adjoint `a gauche au foncteur de restrictionR:F(C;k)→ F(D;k).

Cette propri´et´e se v´erifie par inspection. Le corollaire suivant est un exercice `a partir des r´esultats pr´ec´edents.

Corollaire 9.4. SoitD une sous-cat´egorie pleine de C et D⁰ la sous-cat´egorie pleine de C d´efinie parObD⁰= ObC \ObD.

1. Supposons la sous-cat´egorie DdeC est compl`ete `a gauche ; D⁰ est alors compl`ete `a droite. Il existe un diagramme de recollement

F(D;k)qqmm P^R //F(C;k) R //F(D⁰;k) qqmm P

2. Supposons la sous-cat´egorie DdeC est compl`ete `a droite ; D⁰ est alors compl`ete `a gauche. Il existe un diagramme de recollement

F(D;k)qq P //F(C;k) R //

R

mm F(D⁰;k).rr

P

ll

De plus, dans chacun de ces deux cas, le prolongement interm´ediaire d’un objet deF(D⁰;k)dans F(C;k)co¨ıncide avec son prolongement par z´ero.

Nous pr´esentons maintenant un exemple typique d’application de ce corollaire.

Notation 9.5. Nous noterons E_surj^f (k) la sous-cat´egorie deE_k^f ayant les mˆemes objets que E_k^f et dont les morphismes sont les surjections deE_k^f. Pour tout entier n, nous d´esignerons parE_surj^≤n (k) la sous-cat´egorie pleine deE_surj^f (k) des espaces de dimension au plusn.

On pose enfinFsurj(k) =F(E_surj^f (k);k) etF_surj^≤n (k) =F(E_surj^≤n (k);k).

On remarque queE_surj^≤n−1(k) est une sous-cat´egorie compl`ete `a droite deE_surj^≤n (k). Par cons´equent : Proposition 9.6. Il existe un diagramme de recollement

F_surj^≤n−1(k)qq P //F_surj^≤n (k) ^evn //

R

mm k[GL_n(k)]−modqq

P

mm

o`u ev_n d´esigne le foncteur d’´evaluation.

Corollaire 9.7. Les objets simplesF_surj(k)sont les prolongements par z´ero desk[GL_n(k)]-modules simples lorsque n d´ecrit N; de plus, deux tels foncteurs simples sont isomorphes si et seulement s’ils correspondent `a une mˆeme valeur de n et que les k[GLn(k)]-modules simples associ´es sont isomorphes.

La v´erification du corollaire `a partir de ce qui pr´ec`ede n´ecessite la seule observation suivante : si S ∈ ObFsurj(k) est simple, alors S(kⁿ) est nul pour n assez grand. On utilise les projectifs standard pour le voir.

10 Deuxi` eme situation de recollement : idempotents des mo- no¨ıdes

Kuhn a observ´e dans [Kuh94b] qu’une situation de recollement entre cat´egories de modules d´ej`a connue s’appliquait avec succ`es dans le cadre des cat´egories de foncteurs.

Proposition 10.1. Soient R un anneau et e un idempotent de R. Il existe un diagramme de recollement

R/ReR−modppnn ⁱ //R−modqqmm ^e //eRe−mod

o`u i est le foncteur de restriction des scalaires relative `a la projectionR R/ReR,e le foncteur envoyant unR-moduleM sur eM.

Si M est un mono¨ıde ete un idempotent de M, on peut appliquer cette propri´et´e `a l’alg`ebre k[M], en notant queek[M]e'k[eM e] etk[M]ek[M]'k[M eM].

Le cas qui nous int´eresse est celui o`u M = Mn(k) et e est l’idempotent correspondant `a la matricediag(1, . . . ,1,0) de rangn−1. On a alorseM e' Mn−1(k) etM/M eM'GLn(k) (M eM est constitu´e des matrices non inversibles). Ainsi :

Corollaire 10.2(Kuhn). Pour tout entier n, il existe un diagramme de recollement k[GL_n(k)]−modppnn //k[M_n(k)]−modppnn //k[M_n−1(k)]−mod

Cela permet de d´ecrire les k[Mn(k)]-modules simples `a partir desk[GLi(k)]-modules simples pouri≤n.

Pour passer aux objets simples deF(k), Kuhn utilise un autre diagramme de recollement : Proposition 10.3(Kuhn). NotonsFⁱ(k)la sous-cat´egorie pleine deF(k)des foncteursF tels que F(kⁱ⁻¹) = 0.

Pour toutn∈N, il existe un diagramme de recollement

Fⁿ⁺¹(k)qqmm ⁱ //F(k)rrll ^e //k[Mn(k)]−mod o`u iest le foncteur d’inclusion et ele foncteur d’´evaluation sur kⁿ.

On peut ensuite obtenir les objets simples deF(k) de la fa¸con suivante : Th´eor`eme 10.4 (Kuhn). SoientS ∈ObF(k) un foncteur simple etn∈N.

1. Le k[GL_n(k)]-moduleS(kⁿ)est nul ou simple.

2. Sin est le plus petit entier tel que lek[GLn(k)]-moduleM =S(kⁿ)soit non nul, alorsS est l’image de la fl`eche canoniquePkⁿ ⊗

k[Mn(k)]

M →hom_k[Mn(k)](k[hom_Ef k

(−, kⁿ)], M), o`u l’action deM_n(k)sur M s’obtient en faisant op´erer trivialement les matrices non inversibles.

3. R´eciproquement, les images obtenues comme pr´ec´edemment forment un syst`eme complet de repr´esentants des objets simples de F lorsque n parcourt N et M un syst`eme complet de repr´esentants des k[GLn(k)]-modules simples.

La fl`eche canonique dont il est question est l’adjointe au morphisme identit´e M →hom_F(k)(Pkⁿ,hom_k[Mn(k)](k[hom_Ef

k(−, kⁿ)], M))'hom_k[Mn(k)](k[hom_Ef

k(kⁿ, kⁿ)], M))'M i.e. le prolongement interm´ediaire du diagramme de recollement correspondant `a la proposition 10.3.

11 Troisi` eme situation de recollement : foncteurs polyno- miaux

Nous avons d´ej`a introduit lefoncteur diff´erence∆ :F(k)→ F(k) ; on rappelle que ce foncteur est exact.

D´efinition 11.1. Un objetF deF(k) est dit polynomials’il existe i∈ Ntel que ∆ⁱ(F) = 0. Le degr´ede F est alors d´efini comme le plus petit entier degF tel que ∆^degF 6= 0 siF 6= 0, tandis qu’on pose deg 0 =−∞.

Une variante de cette d´efinition consiste `a introduire les effets crois´es, i.e. `a consid´erer des multi-foncteurs (V₁, . . . , V_n)7→F(V₁⊕ · · · ⊕V_n).

Notation 11.2. Pour tout entiern, on noteFn(k) la sous-cat´egorie pleine des foncteurs polyno- miaux deF(k) de degr´e au plusn.

Ainsi,F0(k) est la cat´egorie des foncteursconstants; elle s’identifie `aEk.

Remarque 11.3. Supposons que le foncteurF prend des valeurs de dimension finie. AlorsF est un foncteur polynomial si et seulement si la fonctionN→Z n7→dimkF(kⁿ) est polynomiale ; leurs degr´es co¨ıncident alors.

On en d´eduit en particulier, lorsque k est fini, que le seul foncteur projectif (resp. injectif) standard polynomial est le foncteur constantk=P₀ (resp.k=I₀).

Proposition 11.4. 1. La sous-cat´egorie F_n(k)deF(k)est ´epaisse.

2. Si F et G sont deux foncteurs polynomiaux, alors F ⊗G est ´egalement polynomial et deg(F⊗G) = degF+ degG.

3. Le dual d’un foncteur polynomial est polynomial de mˆeme degr´e.

4. Les foncteurs Tⁿ,Sⁿ,Γⁿ etΛⁿ sont polynomiaux de degr´e n.

D´emonstration. Le premier point d´ecoule de l’exactitude du foncteur diff´erence. Le second provient de l’isomorphisme naturel

∆(F⊗G)'∆(F)⊗G⊕F⊗∆(G)⊕∆(F)⊗∆(G) d´eduit de la commutation des foncteurs de d´ecalage au produit tensoriel.

Le troisi`eme point provient de la commutation du foncteur diff´erence au foncteur de dualit´e.

Le dernier point s’´etablit par r´ecurrence sur n pour Tⁿ `a partir du second ; pour les autres foncteurs, ils d´ecoulent de la propri´et´e exponentielle.

Nous introduisons maintenant la notion simple et efficace de foncteur exponentiel gradu´e, que nous retrouverons dans la derni`ere partie de cet expos´e.

D´efinition 11.5. Un foncteur gradu´e (Eⁿ)n∈Nest ditexponentielsi : 1. il est `a valeurs de dimension finie ;

2. E⁰=k;

3. il existe des isomorphismes naturels

Eⁿ(U⊕V)' M

i+j=n

Eⁱ(U)⊗E^j(V).

Exemple 11.6. Les foncteurs gradu´es (Sⁿ)_n∈N, (Γⁿ)_n∈N et (Λⁿ)_n∈Nsont exponentiels (ce n’est pas le cas de (Tⁿ)_n∈N).

Proposition 11.7. Si(Eⁿ)est un foncteur exponentiel gradu´e, alors∆Eⁿ'Ln−1

i=0 Eⁿ⁻ⁱ(k)⊗Eⁱ. Par cons´equent,Eⁿ est polynomial etdegEⁿ ≤n, avec ´egalit´e siE¹(k)6= 0.

L’´etude des cat´egoriesFn(k) repose sur des propri´et´es des foncteurs puissances tensorielles.

Proposition 11.8. Pour toutn∈N, il existe un isomorphisme dek-alg`ebresEnd_F(k)(Tⁿ)'k[Σ_n].

D´emonstration. L’action de Σn surTⁿ par permutation des facteurs procure un morphisme dek- alg`ebresk[Σn]→End_F(k)(Tⁿ). Nous allons maintenant d´efinir un morphisme End_F(k)(Tⁿ)→k[Σn] dont on laissera au lecteur le soin de v´erifier qu’il est inverse du pr´ec´edent.

Soient V un espace vectoriel de dimension n, (e1, . . . , en) une base de V et xl’´el´ement e1⊗

· · · ⊗en de Tⁿ(V). On munit V, puis Tⁿ(V) par fonctorialit´e, de la structure de k[Σn]-module

`

a droite induite par l’action des endomorphismes de permutation (dans la base consid´er´ee) : le sous-k[Σn]-module M de Tⁿ(V) engendr´e par x, qui est libre, a pour espace vectoriel sous-jacent l’intersection des noyaux des endomorphismes deTⁿ(V) induits par les endomorphismes diagonaux non inversibles deV. On en d´eduit que pour tout morphismef :Tⁿ →TⁿdeF(k),f(V) :Tⁿ(V)→ Tⁿ(V) pr´eserve M. Comme f(V) est k[Σ_n]-lin´eaire, on en d´eduit bien un morphisme d’anneaux End_F(k)(Tⁿ)→End_k[Σn](M)'k[Σ_n].

Convention 11.9. Dans la suite de cette section, on suppose quekest un corpspremier.

Pour simplifier, nous supposerons aussikfini⁴.

Pour des raisons formelles, tout foncteurF deF(k) poss`ede un plus grand sous-foncteurp_n(F) (resp. un plus grand quotientq_n(F)) qui est polynomial de degr´e au plusn. Le foncteurp_n (resp.

qn) est adjoint `a droite (resp. `a gauche) au foncteur d’inclusionFn(k)→ F(k).

Explicitement, soient ¯P et ¯I les foncteurs d´efinis par les scindementsPk 'k⊕P¯ etIk'k⊕I.¯ On a vu que ∆ est adjoint `a droite `a − ⊗P¯ et `a gauche `a− ⊗I. Pour des raisons formelles, on en¯ d´eduitqn(F) =coker( ¯P^⊗n⊗∆ⁿ(F)→F) (co¨unit´e) etpn(F) =ker(F →I¯^⊗n⊗∆ⁿ(F)) (unit´e).

L’hypoth`ese quekest premier intervient dans le lemme suivant.

Lemme 11.10. On a p1( ¯I)'q1( ¯P)'T¹.

Indication de d´emonstration. Le foncteurq1( ¯P) est le conoyau d’une fl`eche explicite ¯P<sup>⊗2</sup>→P¯, ou encore d’une fl`eche expliciteP_k2 →P_k. Le r´esultat s’obtient par identification avec la suite exacte P_k2 →P_k →T¹→0 d´ej`a rencontr´ee.

L’autre isomorphisme s’en d´eduit par dualit´e.

Lemme 11.11. Pour tous F,G∈ObF(k)et tout n∈N, on a pn(F⊗G) = X

i+j=n

pi(F)⊗pj(G).

Indication de d´emonstration. On a clairement pn(F⊗G)⊃ X

i+j=n

pi(F)⊗pj(G)

par la propri´et´e d’additivit´e des degr´es d’un produit tensoriel.

Pour ´etablir l’autre inclusion, on se ram`ene `a montrer quepn+m(F⊗G) = 0 sipn(F) =pm(G) = 0. Dans ce cas, les unit´esF →I¯^⊗n⊗∆ⁿ(F) etG→I¯^⊗m⊗∆^m(F) sont des monomorphismes. On v´erifie que le produit tensoriel de ces deux morphismes apparaˆıt comme facteur direct dans l’unit´e F⊗G → I¯^n+m⊗∆^n+m(F ⊗G) (d´evelopper le terme ∆^n+m(F ⊗G)), donc que cette unit´e est injective.

4La conclusion reste vraie pourk=Q, avec essentiellement la mˆeme d´emonstration, mais il faut prendre garde aux petits probl`emes techniques pos´es par les foncteurs prenant des valeurs de dimension infinie, notamment dans le maniement de la dualit´e.

En combinant les deux lemmes pr´ec´edents, il vient : Proposition 11.12. On aqn( ¯P^⊗n)'pn( ¯I^⊗n)'Tⁿ.

Corollaire 11.13.Le foncteurTⁿest projectif et injectif dans la cat´egorieF_n(k). De plus, le noyau du foncteurhom (Tⁿ,−) :F_n(k)→ E_k est ´egal `aF_n−1(k).

D´emonstration. On a

hom_Fn(k)(Tⁿ, F)'hom_Fn(k)(qn( ¯P^⊗n), F)'hom_F(k)( ¯P^⊗n, F) = ∆ⁿ(F)(0).

Comme ∆ⁿ est exact, cela prouve la projectivit´e deTⁿ; l’injectivit´e est duale.

PourF ∈ObFn(k), le foncteur ∆ⁿ(F) est constant, on a donc hom (Tⁿ, F) = 0 si et seulement si ∆ⁿ(F) = 0, i.e.F ∈ObF_n−1(k).

Nous pouvons donner maintenant le r´esultat principal de cette section. On rappelle quek est suppos´epremier; pour un corps fini non premier, Kuhn a ´etendu le r´esultat dans [Kuh02].

Proposition 11.14. Soitn∈N. Il existe un diagramme de recollement

Fn−1(k)qq i^qnⁿ //Fn(k) ^sn //

pn

mm mod−k[Σ_n]rrll

o`ui<sub>n</sub> d´esigne le foncteur d’inclusion, mod−k[Σ<sub>n</sub>]la cat´egorie desk[Σ<sub>n</sub>]-modules `adroiteets_n le foncteurhom_Fn(k)(Tⁿ,−).

Indication de d´emonstration. La proposition pr´ec´edente et le th´eor`eme de Morita montrent que Fn(k)/Fn−1(k) s’identifie `amod−k[Σn] via le foncteursn. On en d´eduit alors la proposition par des arguments formels.

Corollaire 11.15. Les objets simples et polynomiaux de la cat´egorie F(k)sont (`a isomorphisme pr`es) en bijection avec la r´eunion disjointe des classes d’isomorphisme de k[Σ_n]-modules simples lorsquend´ecritN.

On peut d´ecrire ensuite explicitement les objets simples et polynomiaux de la cat´egorie F(k)

`

a l’aide de la th´eorie classique des repr´esentations des groupes sym´etriques (cf. [Jam78]). En par- ticulier, les foncteurs puissances ext´erieures sont simples, et tout foncteur simple est isomorphe `a un sous-quotient d’un produit tensoriel de puissances ext´erieures (dans le cas d’un corps fini non premier, il faudrait aussi s’autoriser `a tordre par le Frobenius).

12 Comparaison des diff´ erentes situations

Dans la section 10, nous avons classifi´etousles foncteurs simples deF(k) `a l’aide des repr´esentations simples (surk) des diff´erents groupesGL<sub>n</sub>(k). Dans la section pr´ec´edente, nous avons d´ecrit cer- tainsfoncteurs simples deF(k) `a partir des repr´esentations simples (sur k) des diff´erents groupes sym´etriques, au moins lorsquek est premier.

Nous allons voir tout d’abord que si k est fini, alors nous avons en fait obtenu aussi tous les foncteurs simples par cette deuxi`eme approche.

Lemme 12.1. Sik est un corps fini, alors tout injectif standardIV deF(k)est colimite de sous- foncteurs polynomiaux.

D´emonstration. Comme le produit tensoriel de F(k) pr´eserve les foncteurs polynomiaux et les colimites, et queIV⊕W 'IV⊗IW, il suffit de voir queIkest colimite de sous-foncteurs polynomiaux.

Dans ce cas, la conclusion s’obtient en consid´erant l’´epimorphismeL

n∈NSⁿIkrencontr´e dans la deuxi`eme partie de cet expos´e et en utilisant le caract`ere polynomial des puissances sym´etriques.

Remarque 12.2. En revanche, un foncteur projectif de F(k) ne contient jamais de sous-foncteur polynomial non constant.

Th´eor`eme 12.3. Sikest un corps fini, alors tous les foncteurs simples deF(k)sont polynomiaux.

D´emonstration. Soit S ∈ ObF(k) simple et n ∈ N tel que S(kⁿ) 6= 0. On en d´eduit un mor- phisme non nul, donc injectif, deS versIkⁿ. CommeS est simple etIkⁿ colimite de sous-foncteurs polynomiaux, on en d´eduit queS est polynomial.

Connaissant une repr´esentation simple d’un groupe sym´etrique, on en d´eduit un objet simple de F(k) par la section 11. Les ´evaluations de ce foncteur fournissent alors des repr´esentations (nulles ou) simples des diff´erents groupes lin´eaires sur k par la section 10 : ce sont les repr´esentations polynomiales des groupes lin´eaires. On retrouve ainsi une th´eorie classique, connue avant l’´etude de la cat´egorie F(k) (cf. [Gre80], ou [Mac95] en caract´eristique 0). L’approche fonctorielle est sans doute la plus naturelle pour exprimer les r´esultats classiques (ceux de [Mac95] sont d’ailleurs essentiellement exprim´es en termes fonctoriels).

Expliquons maintenant rapidement le lien entre les objets simples de la cat´egorie F(k) et ceux de la cat´egorie F_surj(k) ´etudi´es dans la section 9 `a l’aide d’autres diagrammes de recollement. Le foncteur d’inclusionE<sub>surj</sub><sup>f</sup> (k)→ E<sub>k</sub><sup>f</sup> fournit par pr´ecomposition un foncteur de restrictiono:F(k)→ Fsurj(k). Il poss`ede un adjoint `a gauche exact$:Fsurj(k)→ F(k), tel que

$(X)(V) = M

W⊂V

X(W).

L’image par le foncteur$d’un foncteur simple de Fsurj(k) est un foncteur ind´ecomposable (mais en g´en´eral infini) de F(k) appel´e foncteur de Powell — cet auteur a introduit les duaux de ces foncteurs sous le nom defoncteurs co-Weyldans [Pow98], article o`u il a montr´e comment utiliser ces foncteurs pour ´etablir des propri´et´es profondes sur la structure de la cat´egorieF(k) (lorsquek est un corps fini), `a partir de propri´et´es d´eduites ´el´ementairement des diagrammes de recollements pr´esent´es. Ces consid´erations d´epassent largement le cadre de cet expos´e introductif.

Quatri` eme partie

Introduction aux m´ ethodes de cohomologie fonctorielle

Le but de la derni`ere partie de cet expos´e est de donner un bref panorama sur les m´ethodes puissantes de cohomologie fonctorielle qui ont abouti `a des succ`es spectaculaires comme les calculs de [FLS94], [FFSS99] ou le r´esultat de finitude [FS97]. Ces articles traitent de calculs cohomologiques sur des foncteursfiniset d’applications, mais la consid´eration de foncteurs de tr`es grande taille peut aussi se r´ev´eler tr`es utile (cf. l’appendice de [FFSS99]).

Deux tr`es bonnes r´ef´erences pour un survol du domaine sont [Pir02] et les chapitres homologiques de [FFPS03].

La plupart des arguments, qui ont ´et´e d´eclin´es sous de nombreuses formes, sont dus initialement

`

a Pirashvili. Nous nous limiterons ici `a la cat´egorieF(k), dans le cas o`uk est un corpsfini.

Convention 12.4. Dans toute la suite de cet expos´e, on suppose quekest fini.

13 Arguments formels : adjonctions

La proposition formelle suivante s’av`ere d’un usage particuli`erement utile dans les cat´egories de foncteurs.