Th´eorie des matrices al´eatoires et applications aux communications num´eriques

Th´ eorie des matrices al´ eatoires et applications aux communications num´ eriques

Malika Kharouf

T´el´ecom Paristech et UHAC

9`eme Colloque des Jeunes Probabilistes et Statisticiens

06 Mai 2010

Bref apper¸cu sur la th´ eorie des matrices al´ eatoires

• Propri´ et´ es macroscopiques du spectre des matrices al´ eatoires

•

Comportement global du spectre,

•

Comportement asymptotique des valeurs propres extrˆ emes,

•

Comportement asymptotique de la loi jointe des valeurs propres...

• Propri´ et´ e d’universalit´ e: le comportement asymptotique du spectre est independant de la loi initiale des entr´ ees de la matrice en question.

Approches:

• Approche des moments

• Approche de la transform´ ee de Stieltjes

• ...

Bref apper¸cu sur la th´ eorie des matrices al´ eatoires

• Propri´ et´ es macroscopiques du spectre des matrices al´ eatoires

•

Comportement global du spectre,

•

Comportement asymptotique des valeurs propres extrˆ emes,

•

Comportement asymptotique de la loi jointe des valeurs propres...

• Propri´ et´ e d’universalit´ e: le comportement asymptotique du spectre est independant de la loi initiale des entr´ ees de la matrice en question.

Approches:

• Approche des moments

• Approche de la transform´ ee de Stieltjes

• ...

Bref apper¸cu sur la th´ eorie des matrices al´ eatoires

• Propri´ et´ es macroscopiques du spectre des matrices al´ eatoires

•

Comportement global du spectre,

•

Comportement asymptotique des valeurs propres extrˆ emes,

•

Comportement asymptotique de la loi jointe des valeurs propres...

• Propri´ et´ e d’universalit´ e: le comportement asymptotique du spectre est independant de la loi initiale des entr´ ees de la matrice en question.

Approches:

• Approche des moments

• Approche de la transform´ ee de Stieltjes

• ...

Plan de la pr´ esentation

• Contexte applicatif

• R´ esultats du premier ordre

• R´ esultats de fluctuations

• Illustrations num´ eriques

Syst` emes MIMO (Multiple Input Multiple Output)

• Technique de communication multi-antennes: ` a entr´ ees multiples et ` a sorties multiples.

• Gain matriciel: transmission de bonne qualit´ e.

Syst` emes MIMO (Multiple Input Multiple Output)

• Technique de communication multi-antennes: ` a entr´ ees multiples et ` a sorties multiples.

• Gain matriciel: transmission de bonne qualit´ e.

Repr´ esentation matricielle d’un syst` eme MIMO

Soit, ` a un instant donn´ e n, un signal re¸ cu r

et le signal ´ emis t

. Le syst` eme MIMO ` a N ´ emetteurs et n r´ ecepteurs est donn´ ee par le syst` eme lin´ eaire suivant:

r

= Σ

t

+ b

, avec

• Σ

est la N × n matrice mod´ elisant le canal de transmission,

• b

un bruit blanc additif perturbant le signal transmis.

Σ

est suppos´ ee al´ eatoire.

Repr´ esentation matricielle d’un syst` eme MIMO

Soit, ` a un instant donn´ e n, un signal re¸ cu r

et le signal ´ emis t

. Le syst` eme MIMO ` a N ´ emetteurs et n r´ ecepteurs est donn´ ee par le syst` eme lin´ eaire suivant:

r

= Σ

t

+ b

, avec

• Σ

est la N × n matrice mod´ elisant le canal de transmission,

• b

un bruit blanc additif perturbant le signal transmis.

Σ

est suppos´ ee al´ eatoire.

Information Mutuelle

Indicateur de performance des syst` emes MIMO: Information mutuelle entre le vecteur re¸ cu et le vecteur ´ emis donn´ ee par:

I

(ρ) = 1

N logdet (Σ

Σ

+ ρI

) , ρ un param` etre positif.

But:

Etudier le comportement asymptotique de la fonctionnelle

spectrale I

(ρ) ainsi que ses fluctuations.

Lien avec les matrices al´ eatoires

L’information mutuelle peut s’´ ecrire:

I

(ρ) = Z

0

log (ρ + λ) d µ

(λ).

µ

´ etant la mesure spectrale des valeurs propres de la matrice de Gram Σ

Σ

.

Cela revient donc ` a ´ etudier le comportement asymptotique de la suite des mesures spectrales (µ

)

.

ou encore, le comportement asymptotique de la suite des

transform´ ee de Stieljes associ´ ees (f

)

.

Lien avec les matrices al´ eatoires

L’information mutuelle peut s’´ ecrire:

I

(ρ) = Z

0

log (ρ + λ) d µ

(λ).

µ

´ etant la mesure spectrale des valeurs propres de la matrice de Gram Σ

Σ

.

Cela revient donc ` a ´ etudier le comportement asymptotique de la suite des mesures spectrales (µ

)

.

ou encore, le comportement asymptotique de la suite des

transform´ ee de Stieljes associ´ ees (f

)

.

Transform´ ee de Stieltjes vs R´ esolvente

D´ efinition: La matrice r´ esolvente

Soit A une matrice hermitienne de taille N × N. La matrice r´ esolvente Q associ´ ee ` a la matrice A est la fonction matricielle complexe d´ efinie par:

Q(z ) = (A − zI

)

, =(z) 6= 0.

Lien avec la transform´ ee de Stieltjes de la mesure spectrale de A:

Nous avons la relation suivante:

f (z ) = 1

N Tr Q(z).

Mod` ele Matriciel

Consid´ erons,

Σ

= Y

+ A

avec, Y

(N × n) ` a entr´ ees complexes, i.i.d. centr´ ees et circulaires.

A

(N × n) d´ eterministe.

On travaille sous le r´ egime asymptotique: n → ∞ ⇒

→ c > 0

R´ esultats du premier ordre

Theorem

[Girko, Hachem et al.] Soit ρ un r´ eel positif. Le syst` eme deterministe suivant:

δ

(ρ)=

Tr T

(ρ) e δ

(ρ)=

Tr T e

(ρ), les matrices T

et T e

sont donn´ ees par:



 

  T

=

ρ

1 + e δ

(ρ)

I

+

n(ρ)

A

A

T e

=

ρ (1 + δ

(ρ)) I

+

1+eδn(ρ)

A

A

. admet une seule solution (δ

, e δ

) sur (0, ∞)

.

De plus, nous avons, 1

n Tr (Σ

Σ

+ ρI

)

− δ

(ρ) −−−→

n→∞

0

R´ esultats du premier ordre

Theorem

Nous avons la convergence suivante:

I

(ρ) − V

(ρ) −−−→

n→∞

0, avec,

V

(ρ) = 1 N logdet

ρ(1 + δ e

)I

+ 1

1 + δ

A

A

+ n

N log(1+δ

)− nρ

N δ

δ e

Th´ eor` eme Central Limit

Posons γ =

Tr T

, e γ =

Tr T e

, S = diagT et e S = diage T. Soit κ = E |Y

|

− 2. Soit,

∆

=

1 − 1

n(1 + δ) Tr(A

A

T

)

− ρ

γ e γ.

Alors, nous avons, 1. La suite

Θ

= −log∆

+ κρ

1

n Tr S

1 n Tr S e

, satisfait: 0 < liminf

Θ

≤ limsup

Θ

< ∞.

2. La statistique information mutuelle I

v´ erifie:

N

Θ

(I

(ρ) − E I

(ρ)) −−−→

n→∞

N (0, 1).

El´ ements de la preuve: Approche REFORM

• Somme d’une suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration donn´ ee (F

).

I

(ρ) − E I

(ρ) =

n

X

j=1

Λ

,

avec (Λ

)

suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration (F

)

.

• Validation de la condition de Lyapunov.

∃α > 0, 1 Θ

n

X

j=1

E |Λ

|

−−−→

n→∞

0.

• Convergence de la suite des variances conditionnelles. 1

Θ

n

X

j=1

E

Λ

|F

−−−→

0.

El´ ements de la preuve: Approche REFORM

• Somme d’une suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration donn´ ee (F

).

I

(ρ) − E I

(ρ) =

n

X

j=1

Λ

,

avec (Λ

)

suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration (F

)

.

• Validation de la condition de Lyapunov.

∃α > 0, 1 Θ

n

X

j=1

E |Λ

|

−−−→

n→∞

0.

• Convergence de la suite des variances conditionnelles. 1

Θ

n

X

j=1

E

Λ

|F

−−−→

0.

El´ ements de la preuve: Approche REFORM

• Somme d’une suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration donn´ ee (F

).

I

(ρ) − E I

(ρ) =

n

X

j=1

Λ

,

avec (Λ

)

suite d’incr´ ements de martingale par rapport ` a une filtration (F

)

.

• Validation de la condition de Lyapunov.

∃α > 0, 1 Θ

n

X

j=1

E |Λ

|

−−−→

n→∞

0.

• Convergence de la suite des variances conditionnelles.

1 Θ

n

X

j=1

E

Λ

|F

−−−→

0.

Comportement asymptotique du biais

Il existe une suite de fonctions r´ eelles B

(ρ) telle que:

N ( E I

(ρ) − V

(ρ)) − B

(ρ) −−−→

n→∞

0.

avec B

(ρ) = κC

(ρ).

Simulations

−6 −4 −2 0 2 4

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

Empirical quantiles

Normal quantiles

Q−Q plot for N=8, n=16

−4 −2 0 2 4

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Empirical quantiles

Normal quantiles

Q−Q plot for N=16, n=32

Figure: Q-Q plot pour

n

(I

(ρ) − E I

(ρ))

Simulations

10⁰ 10¹ 10² 10³

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

N

Bias

Empirical bias Theoretical bias

Figure: Biais th´ eorique et exp´ erimental (en fonction de N)

R´ eferences

V. L. Girko, ”Theory of Stochastic Canonical Equations (I and II)“.

Mathematics and its applications 535. Kluwer Academic, Dordrecht 2001.

W. Hachem, P. Loubaton et J. Najim, ”Deterministic Equivalents for Certain Functionals of Large Random Matrices,” Ann. Appl.

Prob. Vol. 17, no. 3, pp. 875-930, 2007.

P. Billingsley, ”Probability and Measure”, John Wiley, 3rd edition,

1995.