Th´ eorie des Nombres - TD3 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD3 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

Exercice 1 : Pour quels nombres premiers pla classe de l’entier 7 modulop est-elle un carr´e ? Exercice 2 : Expliciter la fonctionp7→

3 p

.

En d´eduire que la condition “3 est un carr´e modulo p” ne d´epend que de la classe de p modulo 12.

Exercice 3 : Soit n∈Z. Montrer que l’entiern²+n+ 1 n’admet aucun diviseur de la forme 6k−1, aveck∈Z\ {0}.

[Indication : on pourra montrer que sidest un diviseur de n²+n+ 1, alors−3 est un carr´e mod. d.]

Exercice 4 : Soitp un nombre premier de Fermat, i.e. de la forme p= 2²ⁿ+ 1, avec n∈N.

Montrer que la classe de 3 dansZ/pZengendre (Z/pZ)^∗ d`es quep6= 3. Mˆeme question en rempla¸cant 3 par 5, puis par 7.

Exercice 5 : Soitp un nombre premier impair.

a) Montrer que

X

x∈F^∗p

x p

= 0.

b) Soit ζ_p ∈ C une racine primitive p-i`eme de l’unit´e. On pose s := P

x∈F^∗p

x p

ζ_p^x. Montrer que s² =

−1 p

p.

[Indication : on pourra montrer que s² =P

x,y∈F^∗p

y p

ζp^x(y+1)]

c) En d´eduire que toute extension quadratique deQest contenue dans une extension cyclotomique (i.e. de la forme Q(ζ_n), o`u ζ<sub>n</sub> est une racine primitive n-i`eme de l’unit´e).

Exercice 6 : Soitp un nombre premier impair.

a) Soitn∈Npremier `ap. Montrer qu’il existex, y∈Zpremiers entre eux tels quep|x²+ny² si et seulement si

−n p

= 1.

b) V´erifier la formule suivante pour toutw, x, y, z, n∈Z:

(x²+ny²)(z²+nw²) = (xz±nyw)²+n(xw∓yz)².

c) En d´eduire que si un entier N s’´ecrit N = x² +ny², et si un nombre premier q|N s’´ecrit q =z²+nw² (w, x, y, z∈Z), alors l’entier ^N_q s’´ecrit aussi ^N_q =a²+nb² (a, b∈Z).

d) On suppose que n= 1,2,3 et qu’il existe a, b∈Zpremiers entre eux tels quep|a²+nb². i) Montrer que l’on peut supposer que |a|,|b|< ^p₂ eta²+nb²< p².

ii) En d´eduire qu’il existe x, y∈Z tels quep=x²+ny². e) En d´eduire les ´enonc´es suivants :

i) un nombre premier impairpest somme de deux carr´es d’entiers si et seulement sip≡1 [4].

ii) un nombre premier impair p s’´ecrit sous la forme x² + 2y² (x, y ∈ Z) si et seulement si p≡1,3 [8].

1

iii) un nombre premier p s’´ecrit sous la forme x² + 3y² (x, y∈ Z) si et seulement si p = 3 ou p≡1 [3].

Exercice 7 : Une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.

Soient p, q deux nombres premiers impairs distincts. On d´efinit le groupe G par G := (Z/pZ)^∗ × (Z/qZ)^∗. On noteU le sous-groupe deG form´e des deux ´el´ements (1,1) et (−1,−1). Enfin, on d´efinit H comme le quotientH :=G/U. On pose alorsπ:=Q

x∈Hx∈H.

a) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants deH dansGest donn´e par les ´el´ements (i, j)∈G, avec i= 1,2, . . . , p−1 et j= 1,2, . . . ,^q−1₂ .

b) En d´eduire que

π =

(p−1)!^q−12 ,(q−1)!^p−12 (−1)^{p−12 q−12}

mod U .

c) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants de H dansGest donn´e par les ´el´ements (k, k)∈G, o`u k d´ecrit les entiers entre 1 et ^pq−1₂ premiers `a pq.

d) En d´eduire que

π=

(p−1)!^q−12 q

p

,(q−1)!^p−12 p

q

mod U . e) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique :

p q

q p

= (−1)^{p−12 q−12} .

Exercice 8 : Encore une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.

a) Soitp un nombre premier impair,a∈Ztel quep ne divise pas a. Notonsr1, . . . , r^p−1

2 les restes des divisions euclidiennes dea,2a, . . . ,^p−1₂ aparp. Montrer que

a p

= (−1)^t, o`utest le nombre de ri strictement sup´erieurs `a ^p−1₂ .

b) Soitq premier impair distinct dep. Avec les notations de la question pr´ec´edente pour a=q, on note u la somme desr_i ≤ ^p−1₂ etv la somme desr_i > ^p−1₂ .

i) Montrer queu+ (pt−v) = ^p2₈⁻¹. ii) En d´eduire que t≡ ^p2₈⁻¹ +P

p−1 2

j=1rj [2].

iii) Montrer quet≡P

p−1 2

j=1 E(^jq_p) [2] (o`uE(.) d´esigne la partie enti`ere).

iv) En d´eduire la formule p

q q p

= (−1)

P

p−1 2

j=1 E(^jq_p)+P

q−1 2 k=1 E(^kp_q )

.

v) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique.

Exercice 9 : L’objectif est de montrer le r´esultat suivant. Soitpun nombre premier tel quep≡1 [4].

Alors 2 est une puissance quatri`eme modulo psi et seulement sips’´ecrit sous la forme p=A²+ 64B² (A, B∈Z).

a) Si m ∈ Z, n ∈ N sont des entiers premiers entre eux avec n impair, et si n =p^a₁¹. . . p^a_r^r est la d´ecomposition denen facteurs premiers, on d´efinit ^m_n

:=

m p1

α1

. . . m

pr

αr

. i) En utilisant la loi de r´eciprocit´e quadratique usuelle, montrer que ⁻¹_n

= (−1)ⁿ⁻¹² et

2 n

= (−1)ⁿ

2−1

8 , et d´emontrer la formule ^m_{n n}

m

= (−1)^{m−12 n−12} simetnsont impairs et premiers entre eux.

2

ii) Montrer que si m est un carr´e modulo n, alors ^m_n

= 1. Montrer que la r´eciproque est fausse.

b) On fixep≡1 [4]. On sait que p=a²+b², avec a, b∈Z,aimpair. Montrer que i)

a p

= 1.

ii)

a+b p

= (−1)^(a+b)2−18 .

[Indication : on pourra calculer (a+b)²+ (a−b)².]

iii) (a+b)^p−12 ≡(2ab)^p−14 [p].

c) Avec les notations de la question b), soit f ∈Ztel que b≡af [p]. Montrer quef² ≡ −1 [p] et que 2^p−14 ≡f^ab2 [p].

d) Conclure.

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