Th´ eorie des Nombres - TD4 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2010-2011 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD4 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

Exercice 1 : Pour quels nombres premiers pla classe de l’entier 7 modulop est-elle un carr´e ? Exercice 2 : Expliciter la fonctionp7→

3 p

.

En d´eduire que la condition “3 est un carr´e modulo p” ne d´epend que de la classe de p modulo 12.

Exercice 3 : Soitp un nombre premier impair.

a) Montrer que

X

x∈F^∗p

x p

= 0.

b) Soit ζp ∈ C une racine primitive p-i`eme de l’unit´e. On pose s := P

x∈F^∗p

x p

ζ_p^x. Montrer que s² =

−1 p

p.

[Indication : on pourra montrer que s² =P

x,y∈F^∗p

y p

ζ_p^x(y+1)]

c) En d´eduire que toute extension quadratique deQest contenue dans une extension cyclotomique (i.e. de la forme Q(ζn), o`u ζn est une racine primitive n-i`eme de l’unit´e).

Exercice 4 : Soitp un nombre premier impair.

a) Soitn∈Npremier `ap. Montrer qu’il existex, y∈Zpremiers entre eux tels quep|x²+ny² si et seulement si

−n p

= 1.

b) V´erifier la formule suivante pour toutw, x, y, z, n∈Z:

(x²+ny²)(z²+nw²) = (xz±nyw)²+n(xw∓yz)².

c) En d´eduire que si un entier N s’´ecrit N = x² +ny², et si un nombre premier q|N s’´ecrit q =z²+nw² (w, x, y, z∈Z), alors l’entier ^N_q s’´ecrit aussi ^N_q =a²+nb² (a, b∈Z).

d) On suppose que n= 1,2,3 et qu’il existe a, b∈Zpremiers entre eux tels quep|a²+nb². i) Montrer que l’on peut supposer que|a|,|b|< ^p₂ eta²+nb²< p².

ii) En d´eduire qu’il existe x, y∈Z tels quep=x²+ny². e) En d´eduire les ´enonc´es suivants :

i) un nombre premier impairpest somme de deux carr´es d’entiers si et seulement sip≡1 [4].

ii) un nombre premier impair p s’´ecrit sous la forme x² + 2y² (x, y ∈ Z) si et seulement si p≡1,3 [8].

iii) un nombre premier p s’´ecrit sous la forme x² + 3y² (x, y∈ Z) si et seulement si p = 3 ou p≡1 [3].

Exercice 5 : Une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.

Soient p, q deux nombres premiers impairs distincts. On d´efinit le groupe G par G := (Z/pZ)^∗ × (Z/qZ)^∗. On noteU le sous-groupe deG form´e des deux ´el´ements (1,1) et (−1,−1). Enfin, on d´efinit H comme le quotientH :=G/U. On pose alorsπ:=Q

x∈Hx∈H.

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a) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants deH dansGest donn´e par les ´el´ements (i, j)∈G, avec i= 1,2, . . . , p−1 et j= 1,2, . . . ,^q−1₂ .

b) En d´eduire que

π =

(p−1)!^q−12 ,(q−1)!^p−12 (−1)^{p−12 q−12}

mod U .

c) Montrer qu’un syst`eme de repr´esentants de H dansGest donn´e par les ´el´ements (k, k)∈G, o`u k d´ecrit les entiers entre 1 et ^pq−1₂ premiers `a pq.

d) En d´eduire que

π=

(p−1)!^q−12 q

p

,(q−1)!^p−12 p

q

mod U . e) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique :

p q

q p

= (−1)^{p−12 q−12} .

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