Th´ eorie des Nombres - TD4 Tests de primalit´ e

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Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD4 Tests de primalit´ e

Cette feuille n’a pas ´ et´ e trait´ ee en classe. Elle n’est pas au programme du partiel, ni de l’examen.

Exercice 1 : (Test de Fermat et nombres de Carmichael) Soitn∈N,n≥2.

a) Montrer que sinest premier, alors pour tout entier apremier àn,aⁿ⁻¹ ≡1 [n]. En déduire un test de non-primalité et estimer sa complexité.

b) Soient p, q premiers distincts tels que pgcd(p−1, q−1) = 2 et n=pq. Montrer que 2ⁿ⁻¹ n’est pas congru à 1 modulo n. Généraliser au cas où l’entier d:= pgcd(p−1, q−1) vérifie 2^d≤n.

c) L’entier n≥2 est appel´e nombre de Carmichael si n n’est pas premier et si pour tout entier a premier `an,aⁿ⁻¹≡1 [n].

i) Montrer que n est un nombre de Carmichael si et seulement si n est impair, sans facteur multiple, et pour tout premier pdivisant n,p−1 divise n−1.

ii) Montrer que pourm≥1, si 6m+ 1, 12m+ 1 et 18m+ 1 sont premiers, alors (6m+ 1)(12m+ 1)(18m+ 1) est de Carmichael. En d´eduire un exemple de nombre de Carmichael.

iii) Montrer qu’un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers.

iv) Soit r un entier premier impair. Montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres de Carmichael de la forme pqr, avec p, qpremiers.

[On pourra montrer quep−1 divise rq−1 et q−1 divise rp−1, puis majorer le nombre

qr−1 p−1

pr−1 q−1.]

v) D´eterminer tous les nombres de Carmichael admettant exactement trois facteurs premiers, dont l’un vaut 3 (resp. 5, resp. 7).

Exercice 2 : (Test de Solovay-Strassen) a) Montrer que sin est premier, alors _n^a

≡aⁿ⁻¹² [n] pour tout entierapremier `a n.

b) Soitn >2 impair. On suppose que _n^a

≡aⁿ⁻¹² [n] pour tout entier apremier `an. Montrer que nest premier.

[Indication : on pourra utiliser l’exercice 1 et la caract´erisation des nombres de Carmichael.]

c) En déduire un test de non-primalité et évaluer sa complexité.

d) Montrer que sin est impair compos´e, alors le nombre d’entiers 1≤a < n premiers `an tels que

a n

≡aⁿ⁻¹² [n] est inférieur ou égal à ^ϕ(n)₂ .

e) En déduire un test de primalité probabiliste et évaluer son efficacité.

Exercice 3 : (Test de Miller-Rabin) Soitn >2.

a) Montrer que si n est premier et n−1 = 2^st avec t impair, alors pour tout a premier à n, soit a^t≡1 [n], soit il existe 0≤i < stel que a²ⁱ^t ≡ −1 [n]. En déduire un test de non-primalité. et estimer sa complexité

b) On suppose nimpair composé. Un entierapremier ànest appelé témoin de Miller pour nsi la conclusion de la question précédente n’est pas vérifiée.

i) Montrer que 2 est un t´emoin de Miller pour 561.

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(2)

ii) SoitGun groupe cyclique, soientm∈Z,g∈G,k:= pgcd(m,#G). Montrer que l’´equation x^m = g a une solution dans G si et seulement si g^#G^k = 1. Montrer que dans ce cas, l’´equation a exactement ksolutions.

iii) Avec les notations précédentes, on suppose que g est d’ordre 2, on note #G = 2ûv (v impair) etm= 2^st(timpair). On pose r:= min(u, s) et w:= pgcd(t, v).

i. Montrer que l’´equationx^t= 1 aw solutions dansG.

ii. Montrer que si 1≤j≤r, l’´equation x²^j−1^t=g a 2^j−1w solutions dans G.

iii. Montrer que sij > r, l’´equation x²^j−1^t=g n’a pas de solution dansG.

iv. On revient aux notations initiales : n≥2, n−1 = 2^st avec t impair. On consid`ere le groupeG:= (Z/nZ)^∗et less+1 ´equationsx^t= 1,x^t=−1,x^2t=−1,. . .,x²^s−1^t=−1.

On d´ecomposen=QN

i=1pâ_iⁱ en facteurs premiers. On note aussi pâ_iⁱ⁻¹(p_i−1) = 2ûⁱv_i avec v_i impair, w_i := pgcd(t, v_i), v_i⁰ := _w^vⁱ

i, U := P

iu_i, V := Q

iv_i et V⁰ := Q

iv_i⁰. Enfin, notons umin:= min(ui) et r := min(umin, s).

Calculer la sommeAdu nombre de solutions dess+1 équations précédentes, en fonction de N, r, V, V⁰.

v. On supposeN = 1. Montrer quep₁−1 = 2^u¹w₁ et que A=p₁−1.

vi. On suppose N >1. Montrer queA≤ _V^V02^{N r}2^1−N et calculerϕ(n) en fonction de U et V.

En d´eduire que si ^ϕ(n)_A < 4, alors N = 2, a₁ = a₂ = 1, u₁ =u₂ = r et V⁰ = 1, puis montrer que dans ce cas,p1−1 etp2−1 divisentn−1.

vii. Conclure que dans tous les cas, si n 6= 9 est impair composé, alors au moins ³₄ des entiers 1≤a < npremiers à nsont des témoins de Miller pour n.

viii. En déduire un test de primalité probabiliste, et estimer sa complexité et sa probabilité d’erreur.

Exercice 4 : (Comparaison des tests de Solovay-Strassen et de Miller-Rabin) Soitn >2 impair. On note n−1 = 2^st.

a) Soit 1≤a < n tel queane soit pas un t´emoin de Miller pour n.

i) On suppose a^t≡1 [n]. Montrer que _n^a

≡aⁿ⁻¹² [n].

ii) On suppose qu’il existe 0≤i < s tel quea²ⁱ^t≡ −1 [n].

i. Calculer aⁿ⁻¹² modulo n.

ii. Soitppremier divisantn. On notep−1 = 2^uv. Montrer queu≥i+ 1, que a

p

= 1 si u > i+ 1 et que

a p

=−1 siu=i+ 1.

iii. V´erifier que dans le premier cas,p≡1 [2ⁱ⁺²], et que dans le second,p≡1 + 2ⁱ⁺¹ [2ⁱ⁺²].

iv. On note k le nombre de facteurs premiers p de n, comptés avec multiplicité, pour lesquels u=i+ 1 (second cas). Montrer que _nâ

= (−1)^k etn≡1 +k.2ⁱ⁺¹ [2ⁱ⁺²].

v. En d´eduire que n≡1 [2ⁱ⁺²] si et seulement sikest pair.

vi. En d´eduire que i < s−1 si et seulement sik est pair.

vii. En d´eduire que ^a_n

≡aⁿ⁻¹² [n].

b) Expliquer en quel sens le test de Rabin-Miller est meilleur (au sens large) que le test de Solovay- Strassen.

Exercice 5 : (Test de Lucas-Lehmer)

On consid`ere un entierN de la formeN =h2ⁿ−1, avecn >1,h impair et 0< h <2ⁿ⁺¹−1.

Soit a ∈ N, a ≥ 3. On d´efinit les suites (Vn) et (Sn) de la fa¸con suivante : V0 := 2, V1 := a et V_i+1 := aV_i−Vi−1; S₁ := V_h et S_i+1 := S_i²−2. On suppose ^a−2_N

= 1 et ^a+2_N

= −1 et on pose D:=a²−4.

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(3)

a) Montrer qu’il existe un diviseur premier pde N et un ´el´ement x∈Fp² \Fp tel quex²=D.

b) On pose α := ^(a+2+x)_4(a+2)². Montrer que α= ^a+x₂ , que α est racine deX²−aX + 1 et que dans le sous-corpsFp de Fp², on a les relations suivantes :

V_i=αⁱ+α⁻ⁱ

Si =α^h2ⁱ⁻¹+α^−h2ⁱ⁻¹. c) Montrer que α^p+1² =

a+2 p

. d) On suppose que N diviseSn−1.

i) Montrer que 2ⁿ divise l’ordre de α dansF^∗_p2.

ii) En d´eduire qu’il existe des entiersk etm tels queN = (2ⁿk−1)(2ⁿm+ 1).

iii) Montrer que siN 6=p, alors k≥2 ou m≥2, donch≥2ⁿ⁺¹−1.

iv) Conclure queN est premier.

e) On suppose N premier. Montrer que N diviseSn−1.

f) En déduire un test de primalité pour les entiers de la forme précédente.

g) Montrer que sih≡(−1)ⁿ⁻¹ [3], on peut prendre a= 4 dans les questions pr´ec´edentes.

h) Pour tout n > 1, on note Mn := 2ⁿ−1 le n-ième nombre de Mersenne. Adapter le test de primalité pour lesM_n et estimer sa complexité.

i) Montrer queM11= 2047 n’est pas premier.

j) Montrer que M17= 131071 est premier.

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