Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2010-2011 Module MM020
Th´ eorie des Nombres - DM3 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique
Exercice 1 : Une autre preuve de la loi de r´eciprocit´e quadratique.
a) Soitp un nombre premier impair,a∈Ztel quep ne divise pas a. Notonsr1, . . . , rp−1
2
les restes des divisions euclidiennes dea,2a, . . . ,p−12 aparp. Montrer que
a p
= (−1)t, o`utest le nombre de ri strictement sup´erieurs `a p−12 .
b) Soitq premier impair distinct dep. Avec les notations de la question pr´ec´edente pour a=q, on note u la somme desri ≤ p−12 etv la somme desri > p−12 .
i) Montrer queu+ (pt−v) = p28−1. ii) En d´eduire que t≡ p28−1 +P
p−1 2
j=1rj [2].
iii) Montrer quet≡P
p−1 2
j=1 E(jqp) [2] (o`uE(.) d´esigne la partie enti`ere).
iv) En d´eduire la formule p
q q p
= (−1)
P
p−1 2
j=1 E(jqp)+P
q−1 2 k=1 E(kpq )
.
v) En d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique.
Exercice 2 : L’objectif est de montrer le r´esultat suivant. Soitpun nombre premier tel quep≡1 [4].
Alors 2 est une puissance quatri`eme modulo psi et seulement sips’´ecrit sous la forme p=A2+ 64B2 (A, B∈Z).
a) Si m ∈ Z, n ∈ N sont des entiers premiers entre eux avec n impair, et si n =pa11. . . parr est la d´ecomposition denen facteurs premiers, on d´efinit mn
:=
m p1
α1
. . .
m pr
αr
. i) En utilisant la loi de r´eciprocit´e quadratique usuelle, montrer que −1n
= (−1)n−12 et
2 n
= (−1)n
2−1
8 , et d´emontrer la formule mn n
m
= (−1)m−12 n−12 simetnsont impairs et premiers entre eux.
ii) Montrer que si m est un carr´e modulo n, alors mn
= 1. Montrer que la r´eciproque est fausse.
b) On fixep≡1 [4]. On sait que p=a2+b2, avec a, b∈Z,aimpair. Montrer que i)
a p
= 1.
ii) a+b
p
= (−1)(a+b)2−18 .
[Indication : on pourra calculer (a+b)2+ (a−b)2.]
iii) (a+b)p−12 ≡(2ab)p−14 [p].
c) Avec les notations de la question b), soit f ∈Ztel que b≡af [p]. Montrer quef2 ≡ −1 [p] et que 2p−14 ≡fab2 [p].
d) Conclure.
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