Chapitre 2 Espaces probabilis´es et variables al´eatoires

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Espaces probabilis´ es et variables al´ eatoires

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

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Table des mati` eres

1 Vocabulaire des probabilit´es 2

1.1 Notion d’ensembles d´enombrables . . . 2

1.2 Notion d’univers . . . 3

1.3 Notion de tribus . . . 4

1.4 Opérations sur les événements . . . 7

2 Probabilit´e 8 2.1 D´efinition . . . 8

2.2 Propri´et´es . . . 9

2.3 Vocabulaire . . . 10

2.4 Caractéristique dans le cas où Ω est au plus dénombrable . . . 11

2.5 Equiprobabilit´´ e . . . 12

2.6 Th´eor`eme de la limite monotone . . . 14

3 Probabilité conditionnelle 15 3.1 Définition et propriétés . . . 15

3.2 Formule des probabilit´es compos´ees . . . 17

3.3 Formule des probabilit´es totales . . . 18

3.4 Formules de Bayes . . . 19

4 Indépendance 20 4.1 Indépendance de deux événements . . . 20

4.2 Indépendance d’une famille d’événements . . . 21

5 Premières notions sur les variables aléatoires 21 5.1 Généralités . . . 21

5.2 Fonctions de r´epartition . . . 23

6 Moments d’une variable aléatoire 23 6.1 Espérance d’une variable aléatoire . . . 23

6.2 Variance . . . 25

6.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . 26

7 Calculs empiriques 27 7.1 Esp´erance et variance . . . 27

7.2 Calcul empiririque de la loi pour une variable al´eatoire finie . . . 28

7.3 Fonction de r´epartition empirique . . . 28

8 Exercices du td 30

(3)

On veut modéliser une expérience aléatoire. Pour cela, on commence par noter tous les résultats possibles, leur ensemble est contenu dans l’univers de l’expérience que l’on va l’appeler Ω. On veut après construire une applicationP qui à un sous-ensemble de Ω associe un réel de [0; 1] quantifiant la chance d’obtenir l’un des résultats de ce sous-ensemble lors de l’expérience aléatoire. Lorsque Ω sera infini non dénombrable, on peut montrer, qu’en général, il n’est pas possible de définir P sur tous les sous-ensembles de Ω sans contredire les propriétés naturelles que l’on attend d’une probabilité.

Dans la suite du cours, on va donc devoir définir des ensembles de définition T de P suffisamment petit pour pouvoir avoir les propriétés attendues d’une probabilité et suffisamment grand pour qu’on puisse faire des probabilités (par exemple parler d’union d’événements, parler du contraire...). Ce seront ce qu’on appelle les tribus. En pratique, on n’explicitera que très rarement T et P.

1 Vocabulaire des probabilit´ es

1.1 Notion d’ensembles d´ enombrables

Soit E un ensemble non vide.

• On dit que E est fini si il existe un entier naturelp et une application deE dans J1, pK qui soit bijective. Dans ce cas, p est son nombre d’´el´ements, on l’appelle cardinal de E et on le note Card (E) ou |E| ou #(E).

• On dit que E est dénombrable si il existe une bijection de E dans N . Dans ce cas, son nombre d’éléments est infini, on dit que son cardinal est +∞ce que l’ on le note Card (E) = +∞ (ou |E|= +∞ou #(E) = +∞).

• On dit que E est au plus d´enombrable si E est fini ou d´enombrable.

D´efinition 1

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition.

• E est fini si on peut trouver un entier naturel non nulptelle qu’on puisse l’´ecrire sous la forme {x_i, i∈J1, pK}.p est alors son cardinal.

• E est dénombrable si on l’écrire sous la forme {x_i, i∈N}. Cela signifie simplement que l’on peut numéroter ses éléments.

• Si E est fini alors E n’est pas d´enombrable. SiE est d´enombrable alors E n’est pas fini.

• Si E est inclus dans un ensemble d´enombrable et n’est pas fini alors E est d´enombrable.

• L’ensemble vide est fini. Son cardinal est 0.

, Exemple :

1. Soient n et p deux entiers naturels non nuls tel que p 6 n. {1; 3},{1; 3; 3},J1, pK et Jp, nK sont des ensembles finis, on a :

(a) Card ({1; 3}) = 2 (b) Card ({1; 3; 3}) = 2

(c) Card (J1, pK) = p

(d) Card (Jp, nK) =n−p+ 1

(4)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoires Vocabulaire des probabilités

2. N, Z etQ sont d´enombrables.

3. [0,1] et R ne sont ni finis ni d´enombrables.

1.2 Notion d’univers

• On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat ne peut pas être déterminé a priori, c’est-à-dire dépendant du hasard.

• On appelle univers (ou univers des possibles ou univers des résultats observables) associé à une expérience aléatoire l’ensemble Ω contenant au moins tous les résultats (ou issues ou éventualités) de cette expérience.

D´efinition 2

* Remarque :

Contrairement à la première année, les univers ne sont pas forcément finis ni nécessairement dénombrables.

, Exemple :

Expérience 1 : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note le numéro de la face supérieure. L’univers de cette expérience est · · ·.

Expérience 1 bis : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note si le numéro de la face supérieure est pair ou impair. L’univers de cette expérience est · · ·. Expérience 2 : On lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir pile. Pour tout entier naturel

non nul i, on note ω_i le i-uplet (F, F,· · · , F, P), c’est-à-dire le résultat ” On a obtenu i−1 face(s) avant d’obtenir le premier pile ”. On note ω₀ le résultat ” on n’obtient que des faces

”. L’univers de cette exp´erience est alors {ω_i, i∈N}, c’est un ensemble d´enombrable.

Expérience 2 bis : On lance une pièce de monnaie indéfiniment. L’univers de cette expérience est (avec des notations évidentes) alors {P, F}^N, c’est un ensemble infini non dénombrable.

Expérience 3 : On note le retard d’un train donné en minutes. On peut prendre [0,50] comme univers de cette expérience. On peut prendre aussi R⁺ si on est plus pessimiste. L’univers de cette expérience est infini et non dénombrable.

Expérience 4 : On appelleU une urne contenant 5 boules rouges, 1 boule jaune et 1 boule verte et on procède à trois tirages simultanés. Ω₅ est alors l’ensemble des 3-combinaisons des boules de U.

Expérience 5 : On utilise l’urne U précédente et on procède à trois tirages avec remise. Ω₆ est alors l’ensemble des 3-uplets des boules de U.

Expérience 6 : On utilise l’urne U précédente et on procède à trois tirages sans remise. Ω₇ est alors l’ensemble des 3-arrangements des boules de U.

(5)

1.3 Notion de tribus

Soient Ω un ensemble, I une partie deNet (A_i)_i∈I une famille de parties de Ω. On note : [

i∈I

A_i ={ω∈Ω tel qu’il existe i∈I tel que ω∈A_i}.

\

i∈I

Ai ={ω∈Ω tel que, pour tout i∈I, ω∈Ai}. D´efinition 3

* Remarque :

• On note souvent

+∞

[

i=1

A_i l’ensemble [

i∈N^?

A_i.

• On note souvent

+∞

\

i=1

A_i l’ensemble \

i∈N^?

A_i. On note que dans

+∞

[

i=0

A_i tout comme dans

+∞

\

i=0

A_i, il n’y a pas de notion de limite même si l’élément +∞ est présent.

Soient Ω un ensemble non vide et T un sous-ensemble de P(Ω). On dit que T est une tribu sur Ω si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. Ω∈ T

2. T est stable par passage au compl´ementaire, c’est-`a-dire : SiA∈ T alors A∈ T

3. T est stable par union d´enombrable, c’est-`a-dire : Si (A_n)n∈N∈ T^N alors [

n∈N

A_n ∈ T D´efinition 4

, Exemple :

• Soit Ω un ensemble non vide. Voici trois tribus sur Ω : 1. {Ω,∅ }. On l’appelle tribu triviale ou grossi`ere sur Ω.

2. P(Ω). On l’appelle tribu pleine ou tribu discr`ete sur Ω.

3.

Ω, A, A,∅ avecA une partie fini de Ω non vide.

• Posons Ω =J1,6K. Voici des exemples de tribus sur Ω :

(6)

1. {J1,6K,∅ }.

2. P(J1,6K).

3. {J1,6K,{1},{2; 3; 4; 5; 6},∅ }. C’est la plus petite tribu contenant{1}.

4. {J1,6K,{1; 3; 5},{2; 4; 6},∅ }.

5. {J1,6K,J1,2K,J3,6K,∅ }.

Les ensembles suivants ne sont pas des tribus sur Ω : 1. J1,6K

2. {J1,6K,{1,2},{3,4},{5,6},∅ }.

3. {J1,6K,{1,2,3,4},{5,6,7},∅ }.

* Remarque :

1. Les éléments deT sont donc des parties de Ω, c’est-à-dire des sous-ensembles de Ω.

2. On a besoin du fait qu’une tribu soit stable par union dénombrable pour pouvoir faire des probabilités. Par exemple, si on joue à pile ou face et que je gagne dès le premier pile obtenu alors l’événement”Je gagne ”est

+∞

[

n=1

A_n en notant, pour tout entier naturel non nul j, A_j l’événement ”On obtient le premier pile au jî`ême lancer ”.

3. Que Ω soit ou non fini, l’ensemble des événements liés à une expérience aléatoire est toujours une tribu.

Soient Ω un ensemble non vide et T une tribu sur Ω.

1. ∅ ∈ T

2. T est stable par intersection d´enombrable, c’est-`a-dire : Si (An)n∈N∈ T^N alors \

n∈N

An∈ T

3. T est stable par union finie et intersection finie.

Proposition 5

Soient Ω un ensemble non vide et E une expérience aléatoire tel que Ω soit l’univers associé àE. Soit T une tribu sur Ω.

• On dit que (Ω,T) est un espace probabilisable. Il permet une modélisation qua- litative de l’expérience étudiée.

• Les éléments de T sont appelés événements associés àE.

• Un événement associé à E qui n’a jamais lieu s’appelle événement impossible.

C’est ∅.

• Un événement associé à E qui a toujours lieu s’appelle événement certain. C’est Ω.

• Un événement du type{ω}avec ω ∈Ω s’appelle un événement élémentaire.

D´efinition 6

(7)

* Remarque :

1. Les événements liés à une expérience aléatoire sont donc des faits liés à cette expérience qui peuvent ou non se produire. On les confond avec l’ensemble des éventualités pour lesquelles ils ont lieu. Ces événements sont les seuls ensembles de possibilités pour lesquels on pourra calculer la probabilité de réalisation. On ne peut pas savoir a priori si un événement aura lieu.

En revanche, une fois l’expérience réalisée, on peut affirmer avec certitude qu’un événement a eu lieu ou bien n’a pas eu lieu.

2. Quand l’univers Ω de l’expérience sera au plus dénombrable, la tribu la plus simple à prendre est la tribu pleine sur Ω, c’est-à-dire P(Ω). C’est en général ce qu’on ferra et c’est souvent la tribu qui a été choisie en première année. On peut montrer que si Ω est au plus dénombrable et qu’on choisit une tribuT contenant les événements élémentaires (on fait donc le choix de distinguer tous les résultats et d’être capable d’en évaluer la probabilité) alors T est nécessairement P(Ω). On peut parfois ne pas prendre P(Ω) comme tribu, typiquement quand on n’a pas besoin d’autant de précision. Si nous décidons de travailler dans la tribu grossière, il n’y aura que deux événements : l’événement certain et l’événement impossible.

Reprenons l’expérience 1 : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le numéro de la face supérieure. On peut prendre J1,6K comme univers et P(Ω) comme tribu associée. On sait alors évaluer la probabilité d’avoir 1, la probabilité d’avoir 2...

On peut aussi prendre {J1,6K,{1; 3; 5},{2; 4; 6},∅ }comme tribu associée. Avec cette tribu, on sait juste si le dé a donné un résultat pair ou non. Une autre fa¸con d’obtenir cette même modélisation est de prendre { {1; 3; 5},{2; 4; 6} }comme univers et l’ensemble de ces parties comme tribu.

3. Quand l’univers Ω de l’expérience sera infini non dénombrable, expliciter une tribu sur Ω est délicat. Pour pouvoir construire une probabilité sur (Ω,T) avec T la tribu des événements choisie, T ne pourra pas être P(Ω). P(Ω) est en quelque sorte trop ”gros ”. Par exemple, on peut prouver qu’il n’existe pas de probabilité sur ([0,1]²,P([0,1]²)) telle que la probabilité de [a, b]×[c, d] (avec a, b, c et d quatre éléments de [0,1] tels que a 6 b et c 6 d) soit proportionnelle à (b−a)×(d−c) et attribuant la même probabilité à deux parties de translatées l’une de l’autre. Il est par contre possible de construire une probabilité ayant ces propriétés sur un sous-ensemble plus petit telle l’ensemble des boréliens (notion hors-programme). On va construire une probabilité sur un ensemble beaucoup plus ”petit ”mais vérifiant tout de même les propriétés nécessaires pour faire des probabilités (T contient Ω et est stable par passage au complémentaire, à l’intersection et à l’union). C’est dans ce cas précis (univers infini non dénombrable) qu’apparaˆıt la véritable utilité de la notion de tribus. En pratique, on prendra une tribu sans chercher à l’expliciter et on admettra qu’elle vérifie les propriétés nécessaires pour faire des probabilités.

4. En pratique, il n’est pas nécessaire d’expliciter un univers de l’expérience. On cherche encore plus rarement à expliciter une tribu dessus !

+ Mise en garde :

Reprenons encore l’expérience 1. 2 n’est pas un événement.{2}en revanche est un événement.

(8)

1.4 Op´ erations sur les ´ ev´ enements

Soit (Ω,T) un espace probabilisable. Soient A et B deux ´el´ements deT.

• A est l’événement contraire de A. A est réalisé si et seulement si A n’est pas réalisé.

• A∩B est l’événement A etB. A etB est réalisé si et seulement si A et B sont réalisés simultanément lors de la même expérience.

• On dit que A et B sont incompatibles si A∩B est l’´ev´enement impossible. Au- trement dit, A et B sont incompatibles si et seulement si A etB ne peuvent pas ˆ

etre réalisé au cours de la même expérience.

• A∪B est l’événementA ouB.AouB est réalisé si et seulement si l’un au moins des événements A ouB est réalisé lors de l’expérience.

• A\B est l’événement ”A privé de B” ou ”A mais pas B”. Il est réalisé si et seulement si A est réalisé et B ne l’est pas lors d’une expérience.

• A∆B est est l’événement ”A ou bien B”. Il est réalisé si et seulement si un seul exactement événement A ouB est réalisé lors de l’expérience.

• On dit que A implique B si la r´ealisation deA implique celle de B, i.e si A⊂B.

On note A⇒B. D´efinition 7

, Exemple :

1. Reprenons l’expérience 1 et introduisons les événements G=”le numéro obtenu est supérieur

`

a 3” et A l’´ev´enement ”le nombre obtenu est impair”. On a : A∩G={3; 5}.

A∪G={3; 4; 5; 6; 1}.

A∆G={4; 6; 1}.

A\G={1}.

2. On lance une pièce de monnaie infiniment. Pour tout entier naturel k non nul, on appelle F_k l’événement ”Obtenir face au kî`ême lancer ”. On peut décrire à l’aide des (F_i)_i∈

N^? les

´

ev´enements suivants :

• A : ”N’obtenir que des faces ”

• B : ”Obtenir deux face d’affil´ee ”

• C : ”N’obtenir que des faces `a partir d’un certain rang ”

• D : ”Obtenir une infinit´e de faces ” On a · · ·.

Soient (Ω,T) un espace probabilisable, I une partie de N et (A_i)_i∈I une famille d’événements. On dit que (Ai)_i∈I est un système complet d’événements si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. ∀(i, j)∈JIK

2, i6=j ⇒A_i∩A_j =∅ 2. [

i∈I

A_i = Ω D´efinition 8

(9)

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. I est une partie de N : I peut être finie comme ne pas l’être, I peut ainsi être N ou N^?. Contrairement à la première année, un système complet d’événements peut donc comporter un nombre infini (mais dénombrable) d’événements.

2 Probabilit´ e

2.1 D´ efinition

Soit (Ω,T) un espace probabilisable.

• Soit P une application de T dansR. On dit que P est une probabilité sur (Ω,T) si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

1. Pour tout ´el´ement A deT, on a :P(A)>0.

2. P(Ω) = 1.

3. Pour toutes suites ´ev´enements (Ai)_i∈

N deux-`a-deux incompatibles, X P(Ai) converge et on a :

+∞

X

i=0

P(A_i) =P

+∞

[

i=0

A_i

! .

• SiP est une probabilité sur (Ω,T), on dit que (Ω,T, P) est un espace probabilisé et, pour tout événement A, P(A) s’appelle la probabilité de A.

D´efinition 9

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. L’ensemble de départ deP estT et pas Ω. Ainsi, dans l’expérience 1, on peut parler de P({1}) mais pas de P(1).

* Remarque :

1. La propri´et´e sur P

+∞

[

i=0

A_i

!

s’appelle la σ-additivit´e.

2. Si n est un entier naturel non nul et (A_i)_16i6n une suite d’ événements deux-à-deux incompatibles, on a :

n

X

i=1

P(Ai) =P

n

[

i=1

Ai

! .

3. En particulier, siAetBsont deux ´ev´enements incompatibles, on a :P(A)+P(B) = P(A∪B).

4. X

P(A_i) est une série convergente si la suite d’ événements (A_i)_i∈

Nest une suite d’ événements deux-à-deux incompatibles. En effet, c’est une série de positive et majorée (par 1 par exemple).

Par contre, si la suite d’ ´ev´enements (A_i)_i∈

N n’est pas une suite d’ événements deux-à-deux incompatibles alors X

P(A_i) n’est pas forc´ement une s´erie convergente.

5. Pour démontrer qu’une application P de T dans R est une probabilité, on n’a pas besoin de s’assurer que, pour tout élément A deT, on a : P(A)>0 et aussi P(A)61 . Si on a prouvé que P(Ω) = 1 et laσ-additivité de P alors il est équivalent de prouver ces trois propriétés :

(10)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoires Probabilité

(a) Pour tout ´el´ement A de T, on a : P(A)∈[0,1].

(b) Pour tout ´el´ement A de T, on a : P(A)>0.

(c) Pour tout ´el´ement A de T, on a : P(A)61.

2.2 Propri´ et´ es

Soit (Ω,T, P) un espace probabilisé. Soient A etB deux événements, on a : 1. P(A)61.

2. P(A) = 1−P(A).

3. P(∅) = 0.

4. Si A⊂B, on a : P(A)6P(B).

5. P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B).

6. P(B\A) = P(B)−P(A∩B).

Proposition 10

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. A etB sont des ensembles, P(A) et P(B) des réels. Ainsi,P(A∪B), P(A∩B), P(A) +P(B) et P(A)P(B) ont du sens. Par contre, P(A)∪P(B), P(A)∩P(B), P(A+B) et P(A×B) n’en ont pas !

Formule du crible (ou de Poincar´e)

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et A₁,· · · , A_n n (n entier naturel non nul)

´ev´enements, on a : P

n

[

i=1

A_i

!

=

n

X

k=1

(−1)^k−1 X

16i1<···<i_k6n

P (A_i₁ ∩ · · · ∩A_i_k)

!

ce qui signifie que : P

n

[

i=1

A_i

!

= X

16i6n

P(A_i)

!

− X

16i1<i26n

P(A_i₁ ∩A_i₂)

!

+· · ·+(−1)ⁿ⁻¹P(A₁∩· · ·∩A_n).

En particulier, on obtient queP(A₁∪A₂∪A₃) est :

P(A₁) +P(A₂) +P(A₃)−[P(A₁∩A₂) +P(A₁∩A₃) +P(A₂∩A₃)] +P(A₁∩A₂∩A₃).

Proposition 11

(11)

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. La formule du crible étant assez complexe, il vaut mieux lorsqu’on souhaite évaluer P

n

[

i=1

A_i

!

avoir affaire à des événements deux-à-deux incompatibles.

2.3 Vocabulaire

Soit (Ω,T, P) un espace probabilis´e.

1. Soient A etB deux ´ev´enements. On dit que :

• A est quasi-certain (ou quasi-sˆur ou presque certain ou presque sˆur) lorsque P(A) = 1.

• A est quasi-impossible (ou n´egligeable) lorsque P(A) = 0.

• A etB sont ´equiprobables lorsque P(A) =P(B).

2. Soient I une partie de N et (A_i)_i∈I une famille d’événements. On dit que (A_i)_i∈I est un système quasi-complet d’événements si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

(a) ∀(i, j)∈JIK

2, i6=j ⇒A_i∩A_j =∅ . (b) X

i∈I

P(Ai) = 1.

D´efinition 12

, Exemple :

1. On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. L’événement”N’obtenir que des faces ”est négligeable. Il peut tout de même avoir lieu.

2. Si on sait qu’un professeur de maths va cassée une craie entre 10h00 et 12h00, l’événement

”Cette craie ne sera pas cass´ee `a 10h15 et 12 secondes ”est quasi-certain.

+ Mise en garde :

• Ce n’est pas parce que deux événements sont équiprobables qu’ils sont confondus ! Dans un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée, les événements {pile}et {face} sont équiprobables et ne sont pas confondus, ils sont même incompatibles !

• Ω est un événement quasi-certain mais ce n’est pas forcément le seul. Un événement peut être de probabilité 1 sans avoir forcément lieu ! (Ce n’est pas vrai par contre si l’univers est fini) Dans la mise en garde précédente, l’événement ”Cette craie ne sera pas casser à 10h15 et 12 secondes ”est quasi-certain mais n’est pas certain.

• ∅est un événement quasi-impossible mais ce n’est pas forcément le seul. Un événement peut ˆ

etre de probabilité nulle et avoir lieu ! (Ce n’est pas vrai par contre si l’univers est fini) Dans la mise en garde précédente, l’événement ”N’obtenir que des faces ”est négligeable mais n’est pas impossible.

(12)

• Un système quasi-complet d’événements n’est pas forcément un système complet d’événements.

On n’impose plus la condition [

i∈I

A_i = Ω mais simplement P [

i∈I

A_i

!

=P(Ω). Cette condition est plus faible puisqu’on rappelle que Ω n’est pas forcément le seul événement quasi- certain.

2.4 Caract´ eristique dans le cas o` u Ω est au plus d´ enombrable

Soit (Ω,P(Ω)) un espace probabilisable avec Ω un ensemble au plus d´enombrable.

• Si Ω est fini, on appelle n son cardinal et on pose : {ω₁,· · · , ω_n} = Ω. Soient p₁,· · · , p_n n r´eels positifs tels que p₁ +· · ·+p_n = 1. Il existe alors une unique probabilit´e P sur (Ω,P(Ω)) telle que :

Pour tout i deJ1, nK, on ait :P({ω_i}) = p_i

Si tel est le cas alors siA est l’événement{ω_i₁,· · · , ω_i_r}(avecrun entier naturel inférieur àn et (i₁,· · · , i_r) élément deJ1, nK

r), on a : P(A) =p_i₁ +· · ·+p_i_r.

• Si Ω est d´enombrable, on pose {ω_i, i∈N} = Ω. Soit (p_i)i∈N une suite de r´eels positifs tels queX

p_i converge et

+∞

X

i=0

p_i = 1. Il existe alors une unique probabilit´e P sur (Ω,P(Ω)) telle que :

Pour tout entier natureli,on ait : P({ω_i}) =p_i

Si tel est le cas alors siAest l’´ev´enement{ω_i, i∈I}avecI une partie deN,X

i∈I

p_i converge et on a :

P(A) =X

i∈I

p_i. Th´eor`eme 13

* Remarque :

Ainsi, si l’univers est au plus dénombrable, il suffit de connaˆıtre les probabilités des événements

élémentaires pour connaˆıtre parfaitement la mesure de probabilité utilisée.

, Exemple :

1. Posons Ω =J1,6K. Posons aussi :

p2 = 2p1, p3 = 3p1, p4 = 4p1, p5 = 5p1, et p6 = 6p1

avec p₁ = 1

21. Il existe une unique probabilit´e P sur (Ω,P(Ω)) telle que : Pour tout i deJ1,6K,on ait : P({i}) =p_i.

(13)

Cet espace probabilisé (Ω,P(Ω), P) est adapté pour modéliser l’expérience aléatoire consistant

`

a lancer un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et pour lequel la probabilité d’obtenir une face est proportionnelle à cette face. Cette donnée suffit pour calculer la probabilité de tout événement, on peut ainsi évaluer la probabilité de l’événement ”Obtenir un nombre pair

”, on a...

2. Posons Ω = N^?. Pour tout i entier naturel non nul, on pose : p_i = 1

2ⁱ. Il existe une unique probabilit´eP sur (Ω,P(Ω)) telle que :

Pour tout entier naturel non nul i,on ait :P({i}) = p_i.

Cet espace probabilisé (Ω,P(Ω), P) est adapté pour modéliser l’expérience aléatoire consistant

`

a lancer une pièce équilibrée et numéroter le rang du premier pile obtenu. Cette donnée suffit pour calculer la probabilité de tout événement, on peut ainsi évaluer la probabilité de l’événement ”Le rang du premier pile obtenu est pair ”, on a...

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. Dans le cas où Ω est infini non dénombrable, la situation est plus délicate. Si on prend un élément au hasard dans [0,1] alors la probabilité de prendre un élément dans un intervalle donné va être proportionnelle à sa longueur. Ainsi, la probabilité de réaliser un événement élémentaire vaut 0. Ainsi, tout événement est constitué de résultats qui sont tous de probabilité nulle sans pour autant que la probabilité totale de l’événement soit forcément nulle.

2.5 Equiprobabilit´ ´ e

Soit (Ω,P(Ω)) un espace probabilisable fini. On dit que P est la probabilité uniforme sur (Ω,P(Ω)) si tous les événements élémentaires ont même probabilité, autrement dit si, pour tout ω de Ω, on a :

P({ω}) = 1 Card (Ω). D´efinition 14

* Remarque :

Soit (Ω,T) un espace probabilisable fini. Avec la proposition sur la caractérisation par les probabilités des événements élémentaires d’une probabilité, on voit que que la probabilité uniforme sur (Ω,P(Ω)) est bien la seule sur (Ω,P(Ω)) pour laquelle tous les événements élémentaires sont équiprobables.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Si Ω n’est pas fini alors il n’existe pas de pro- babilité uniforme sur (Ω,T). Ainsi, si Ω n’est pas fini, on ne sait pas modéliser un problème faisant intervenir un choix au hasard. La propriété de σ-additivité permet la généralisation des probabilités aux ensembles infinis mais ne permet pas de modéliser toutes les situations. Bertrand avait vu ce paradoxe : On cherche à déterminer la probabilité qu’une corde du cercle trigonométrique, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à√

3, i.e. une longueur supérieure au côté d’un triangle

équilatéral inscrit dans ce cercle. On va utiliser deux méthodes conduisant à deux résultats différents :

(14)

1. Extrémités aléatoires : on prend un point du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l’un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l’arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1

3.

2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé entre le centre du cercle et l’intersection du côté avec le rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1

2.

Soient Ω un ensemble fini et P la probabilit´e uniforme sur (Ω,P(Ω)) . Soit A un

´ev´enement, on a :

P(A) = Card (A) Card (Ω)

ce que l’on peut écrire ainsi :P(A) = Nombre de cas oùA se réalise Nombre de cas possible . Proposition 15

+ Mise en garde :

Soit (Ω,P(Ω)) un espace probabilisable fini. La probabilité que l’on utilisera sur (Ω,P(Ω)) ne sera pas forcément la probabilité uniforme sur (Ω,P(Ω)) même si le cadre est uniforme. Cela peut dépendre de la lecture que l’on fait de l’expérience. On lance deux fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et cherchons la probabilité de l’événement K :”La somme des numéros vaut 5”.

• Si on prend comme résultat de l’expérience la somme des deux dés alors l’univers associé à cette expérience est{2;...; 12}. On a alorsK ={5}. Le problème avec cette modélisation est que les événements élémentaires ne sont pas alors équiprobables et qu’on ne peut pas ainsi trouver la probabilité de K.

• Si on prend comme résultat de l’expérience le couple formé des deux nombres obtenus, alors l’univers associé à cette expérience estJ1; 6K

2 et l’hypothèse d’équiprobabilité est réalisée. On a alors :

P(K) = Card (K) Card (Ω⁰)

= Card ({(x, y)∈J1; 6K

2 tel que x+y= 5}) Card (J1; 6K

2)

= Card ({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}) 36

On en d´eduit queP(K) vaut 4 36 i.e 1

9.

On peut aussi faire l’expérience suivante : on cherche la probabilité d’avoir deux couleurs distinctes en tirant deux boules avec remise dans une urne contenant 10 boules rouges et 2 boule jaune. Cette probabilité est de 10×2 + 2×10

12² et pas 2 4.

(15)

2.6 Th´ eor` eme de la limite monotone

* Remarque :

Toute cette partie étant explicitement hors-programme, il faut refaire les démonstrations si on veut invoquer les propriétés citées.

In´egalit´e de Boole

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé et I une partie de N et (A_i)_i∈I une famille d’événements.

• Si I est finie alors on a : P [

i∈I

A_i

!

6X

i∈I

P(A_i).

• Si I est d´enombrable alors ou bien X

i∈I

P(A_i) diverge vers +∞ ou bien X

i∈I

P(A_i) converge et on a :

P [

i∈I

A_i

!

6X

i∈I

P(A_i).

Proposition 16

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et (Ai)_i∈

N^? une suite d’´ev´enements.

• On dit que (A_i)_i∈

N^? est une suite croissante au sens de l’inclusion d’´ev´enements si, pour tout entier naturel non nul i, on a A_i ⊂A_i+1.

• On dit que (Ai)_i∈

N^? est une suite décroissante au sens de l’inclusion d’événements si, pour tout entier naturel non nul i, on a A_i+1 ⊂A_i.

D´efinition 17

Th´eor`eme de la limite monotone

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et (A_i)_i∈

N^? une suite d’´ev´enements.

• Si (A_i)_i∈

N^? est une suite croissante au sens de l’inclusion d’´ev´enements alors : P

+∞

[

i=1

A_i

!

= lim

i→+∞(P(A_i)).

• Si (A_i)_i∈

N^? est une suite décroissante au sens de l’inclusion d’événements alors : P

+∞

\

i=1

Ai

!

= lim

i→+∞(P(Ai)). Th´eor`eme 18

(16)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoires Probabilité conditionnelle

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et (A_i)_i∈

N^? une suite d’´ev´enements. On a : P

+∞

[

i=1

A_i

!

= lim

n→+∞ P

n

[

i=1

A_i

!!

et P

+∞

\

i=1

A_i

!

= lim

n→+∞ P

n

\

i=1

A_i

!!

. Proposition 19

- Exercice 1 :

Un singe tape au hasard des lettres sur un clavier de machine à écrire ne comportant que les 26 touches des 26 lettres de l’alphabet. On suppose qu’il n’a pas de préférence particulière pour certaines lettres et que ses différents choix sont indépendants.

1. Évaluer la probabilité de taper le mot ”banane ”dans le premier bloc consécutif de 6 lettres 2. Évaluer la probabilité de ne pas taper le mot ”banane ” dans le premier bloc consécutif de 6

lettres et de le taper dans le second bloc cons´ecutif de 6 lettres.

3. Évaluer la probabilité de ne pas taper le mot ”banane ” ni dans le premier bloc consécutif de 6 lettres ni dans le second bloc consécutif de 6 lettres et de le taper dans le troisième bloc consécutif de 6 lettres.

4. Montrer qu’en ´etant suffisamment patient, on verra un jour le singe taper le mot ”banane ”.

* Remarque :

Voici encore un exemple d’événement quasi-certain mais pas certain. La probabilité que le singe tape le mot banane est de un, cela ne veut pas dire que cet événement aura lieu. La probabilité que le singe ne tape pas le mot ”banane ”est de zéro mais il peut tout de même le faire ! On dit que le singe tapera presque sûrement le mot ”banane ”.

3 Probabilit´ e conditionnelle

3.1 D´ efinition et propri´ et´ es

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle relativement àAou probabilité sachantAl’application, notée P_A suivante :

P_A:

(T →R

B 7→P_A(B)o`u, pour tout B deT, on pose : P_A(B) = P(A∩B) P(A) . D´efinition 20

* Remarque :

(17)

1. On rencontre aussi l’écriture P(B|A) à la place de P_A(B). C’est particulièrement maladroit car B|A n’est pas un événement.

2. Il est fréquent d’évaluer directement P_A(B) sans passer par la définition précédente, simplement en se disant qu’il s’agit d’une modélisation de la situation où on réalise l’expérience en sachant que A a eu lieu.

, Exemple :

On peut ´evaluer PA(B) dans les deux cas suivants :

1. On tire une carte d’un jeu de 52 cartes, on appelle A l’événement ” On a obtenu un roi ”et B l’événement ” On a obtenu le roi de cœur ”.

2. On jette un dé classique deux fois de suite et on appelle A l’événement ” Le premier nombre obtenu est pair ”et B l’événement ” La somme des nombres obtenus est paire ”.

+ Mise en garde :

Ne pas confondrePA(B) etP(A∩B). Prenons par exemple les événementsA:”C’est la fin du monde ce mois-ci” etB :”Je ne vais pas intégrer une école vétérinaire”. P_A(B) vaut· · · alors queP(A∩B) vaut environ · · ·.

Soit (Ω,T, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité non nulle.P_A est une probabilité, les propositions développées pour toute mesure de probabilité sont donc en particulier vraies, ainsi si (A_i)_i∈

N est une suite d’´ev´enements, on a : 1. 06P_A(A₁)61.

2. P_A(Ω) = 1.

3. SiA₁ etA₂ sont des ´ev´enements disjoints, on a :P_A(A₁∪A₂) =P_A(A₁) +P_A(A₂).

4. PA(A1) = 1−PA(A1).

5. P_A(∅) = 0.

6. Si A₁ ⊂A₂, on a : P_A(A₁)6P_A(A₂).

7. P_A(A₁∪A₂) = P_A(A₁) +P_A(A₂)−P_A(A₁∩A₂).

8. P_A(A₂\A₁) = P_A(A₂)−P_A(A₁∩A₂).

9. PA n

[

i=1

Ai

= X

16i6n

PA(Ai)− X

16i1<i26n

PA(Ai1∩Ai2)+· · ·+(−1)ⁿ⁻¹PA(A1∩· · ·∩An) 10. Si (A_i)_i∈

Nest une suite d’événements deux-à-deux incompatibles alorsX

P_A(A_i) converge et

+∞

X

i=0

P_A(A_i) = P_A

+∞

[

i=0

A_i

! . Proposition 21

(18)

3.2 Formule des probabilit´ es compos´ ees

Formule des probabilit´es compos´ees

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé et A₁,· · · , A_n n (n entier supérieur à 2)

´ev´enements. On suppose queP(A₁∩ · · · ∩An−1)6= 0, on a alors :

P(A₁∩ · · · ∩A_n) =P(A₁)×P_A₁(A₂)P_A₁_∩A₂(A₃)× · · · ×P_A₁_{∩···∩A}_n−1(A_n).

En particulier :

1. SiAetBsont deux ´ev´enements tels queP(A)6= 0 alorsP(A∩B) = P(A)×PA(B).

2. Si A, B etC sont trois ´ev´enements tels queP(A∩B)6= 0 alors P(A∩B∩C) est P(A)×P_A(B)×PA∩B(C).

Proposition 22

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. Cette formule est donc particulièrement utile pour calculerP(A∩B) à partir de probabilité conditionnelle. C’est le cas en particulier lorsque AetB représentent des événements chronologiques, dépendants les uns des autres, quandB est en quelque sorte la conséquence deA. On peut généraliser cette remarque avec la formule des probabilités composées, elle est surtout très utile lorsque A₁,· · · , A_n représentent des événements chronologiques, dépendants les uns des autres.

2. Si (A_i)_i∈

J1,nK

une suite d’événements décroissantes, i.e. si on a : A_n⊂An−1 ⊂ · · · ⊂A₂ ⊂A₁

alors on a : P(An) = P(A1)×PA1(A2)×PA2(A3)× · · · ×PAn−1(An).

- Exercice 2 :

Soitaun entier naturel non nul. On effectue des tirages dans une urne contenant initialement 1 boule blanche et 1 boule noire. Apr`es chaque tirage, la boule est remise dans l’urne avec a boules de la mˆeme couleur.

1. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que p_n = an−1−a_n avec p_n désigne la probabilité pour que la première boule blanche soit obtenue au n-ième tirage et (a_n)_n∈_N la suite définie par :

a₀ = 1 et ∀n∈N^?, a_n=

n−1

Y

k=0

1 +ka 2 +ka. 2. Prouver que lim

n→+∞(ln(a_n)) =−∞.

3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir une boule blanche ?

(19)

3.3 Formule des probabilit´ es totales

Formule des probabilit´es totales

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé, I une partie de N et (A_i)_i∈I un système quasi- complet d’événements. SoitB un événement.

• X

i∈I

P(B∩Ai) existe et on a : P(B) = X

i∈I

P(B ∩Ai).

• Si de plus on suppose que, pour tout i deI, P(A_i)6= 0 alors : P(B) =X

i∈I

P(A_i)×P_A_i(B).

• En particulier, si A est un ´ev´enement tel que P(A)6= 0 etP(A)6= 1 alors : P(B) = P(A)×P_A(B) + (1−P(A))×P_A(B).

Proposition 23

* Remarque :

1. Il faut qu’il soit clair que cette formule est la formule la plus importante de ce cours. On l’utilisera très souvent. Elle permet de reconstituer la probabilité d’une conséquence en tenant compte des différentes causes de cet événement. On peut ainsi avancer dans le temps en

´

evaluant les chances qu’un événement se produise connaissant les probabilités de réalisation de ses différentes causes. L’important dans cette formule est de bien choisir son système quasi- complet d’événements.

2. On utilise les notations de la précédente proposition. SiAest un événement tel queP(A)6= 0 alors :

P_A(B) =

n

X

i=1

P_A(A_i)×PA∩A_i(B).

- Exercice 3 :

Soit n un entier supérieur à 2. On lance n dés classiques et on ajoute le résultat obtenu. Évaluer la probabilité que cette somme soit paire.

(20)

3.4 Formules de Bayes

Formules de Bayes

Soit (Ω,T, P) un espace probabilis´e.

1. Si A etB sont deux événements de probabilité non nulle alors : P_B(A) = P_A(B)×P(A)

P(B) .

2. Si B est un événement de probabilité non nulle, I une partie de N et (A_i)_i∈I un système quasi-complet d’événements tel que, pour tout i de I tel que P(A_i)6= 0 alors X

j∈I

P(A_j)×P_A_j(B) existe et, pour tout i deI, on a :

PB(Ai) = P_A_i(B)×P(A_i) X

j∈I

P(A_j)×P_A_j(B). Proposition 24

* Remarque :

La formule de Bayes permet de calculer la probabilité d’une cause connaissant ses conséquences. On inverse le conditionnement naturel, cela permet de ”remonter le temps” en donnant une indication numérique de la vraisemblance des hypothèses qui ont conduit à la réalisation d’un événement.

- Exercice 4 :

Un étudiant doit répondre à une question à choix multiple où cinq réponses sont proposées, une seule

étant correcte. Si l’étudiant à bien travaillé, la réponse fournie est la bonne réponse. Sinon, l’étudiant répond au hasard. On notep la probabilité qu’un étudiant quelconque ait bien travaillé. En sachant que la réponse fournie est correcte, évaluer la probabilité que l’étudiant ait bien travaillé en fonction dep.

(21)

4 Ind´ ependance

4.1 Ind´ ependance de deux ´ ev´ enements

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé et A et B deux événements.

• On dit que A etB sont ind´ependants (pour la probabilit´e P) si : P(A∩B) =P(A)×P(B)

• Si C est un événement tel que P(C) 6= 0, on dit que A et B sont indépendants sachant C si :

PC(A∩B) = PC(A)PC(B).

D´efinition 25

* Remarque :

1. L’indépendance n’est souvent pas démontrable mais résulte d’un choix de la modélisation probabiliste d’un phénomène aléatoire. Si par exemple, on jette deux fois un dé, un événement dépendant du premier jet sera indépendant d’un événement dépendant du second jet. On ne le démontrera pas, on l’affirmera !

2. L’indépendance n’est pas une notion ensembliste mais une notion probabiliste, cela signifie qu’on peut avoirAetB indépendants pour une certaine probabilitéP₁ mais non indépendants pour une autre probabilité P₂. On ne peut donc pas facilement représenter graphiquement l’indépendance de deux événements.

3. Si A est de probabilit´e non nulle alors A etB sont ind´ependants si et seulement si P_A(B) = P(B).

+ Mise en garde :

Ne pas confondre ind´ependance et incompatibilit´e ! Notons au passage que si A et B sont des

événements incompatibles non quasi-négligeables alors ils ne sont pas indépendants !

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé et A et B deux événements indépendants. Les

événements A etB, B et A etA et B sont alors indépendants.

Proposition 26

(22)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoiresPremières notions sur les variables aléatoires

4.2 Ind´ ependance d’une famille d’´ ev´ enements

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé, I une partie de N et (A_i)_i∈I un famille d’événements.

1. On dit que les événements (A_i)_i∈I sont deux-à-deux indépendants si :

∀(i, j)∈I², i6=j ⇒P(A_i∩A_j) = P(A_i)×P(A_j).

2. On dit que les événements A₁,· · · , A_n sont mutuellement indépendants si, pour tout sous-ensemble J non vide de I, on a :

P \

i∈J

A_i

!

=Y

i∈J

P(A_i).

D´efinition 27

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Si (A_i)_i∈I sont mutuellement indépendants alors ils sont en particulier deux à deux indépendants. En revanche la réciproque est fausse. On jette deux dés dont on note le numéro. On introduit les événementsA=”le premier dé amène un nombre pair”, B ”le deuxième dé amène un nombre pair” et C ”la somme des deux nombres obtenus est paire”.

Ici, A, B, C sont deux-à-deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.

5 Premi` eres notions sur les variables al´ eatoires

Désormais, (Ω,T, P) désignera toujours un espace probabilisé etX etY deux variables aléatoires sur (Ω,T, P).

5.1 G´ en´ eralit´ es

• On appelle variable aléatoire sur (Ω,T, P) toute application X de Ω dans R (Autrement dit, une variable aléatoire réelle est une quantité numérique qui varie en fonctions des résultats d’une expérience aléatoire) telle que, pour tout réel a, l’ensemble {ω∈Ω tel que X(ω)6a} soit un événement, i.e. un élément de T.

• L’ensemble X(Ω) est appel´e univers image de X (ou ensemble des valeurs prises par X ou ensemble des r´ealisations deX ou support de X).

D´efinition 28

* Remarque :

En pratique, on ne demandera jamais à un élève de BCPST de vérifier qu’une application est bien une variable aléatoire. On peut le faire sans difficulté pour une variable certaine par exemple.

(23)

, Exemple :

Expérience 1 : On jette deux dés équilibrés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note S la somme de ces deux dés.

Expérience 2 : On lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir pile et on note X le nombre de tir effectué.

Exp´erience 3 : On note T le retard d’un train donn´e en minutes.

* Remarque :

L’ensemble X(Ω) est en général plus intéressant que Ω et T. Il est possible qu’on ait beaucoup de mal à décrire Ω et que cela n’ait aucune importance ! Avec les trois exemples qui précédent, on voit queX(Ω) peut être fini, infini dénombrable, infini non dénombrable.

Pour tout intervalle I deR, l’ensemble {ω∈Ω tel que X(ω)∈I} est un ´ev´enement.

Proposition 29

Pour tout ensemble de r´eels J, on pose :

(X ∈J) ={ω ∈Ω tel queX(ω)∈J}. On d´efinit aussi (entre autres...) :

• Pour tout r´eel a, on pose :

(X =a) = {ω ∈Ω tel que X(ω) =a}.

• Pour tout r´eel a, on pose :

(X 6a) = {ω ∈Ω tel que X(ω)6a}.

• Pour tous r´eels a et b tels que a6b, on pose :

(a < X 6b) = {ω ∈Ω tel que a < X(ω)6b}. D´efinition 30

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. D’après la précédente proposition, on va donc pouvoir parler de P(X =a), P(a 6X 6b) ...

(24)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire

5.2 Fonctions de r´ epartition

On appelle fonction de r´epartition deX l’application F_X suivante : F_X :

(

R →[0,1]

x 7→P(X 6x) D´efinition 31

* Remarque :

On peut tracer les fonctions de répartition des variables aléatoires décrites dans les deux premières expériences.

La fonction de répartition F_X deX vérifie les propriétés suivantes :

• F_X est croissante.

• lim

x−→−∞(F_X(x)) = 0 et lim

x−→+∞(F_X(x)) = 1.

• Pour tous r´eels a et b tels que a < b, on a :P(a < X 6b) =F_X(b)−F_X(a).

• FX est continue `a droite en tout point.

• Pour tout r´eel x, F_X est continue en x si et seulement si P(X =x) = 0.

Proposition 32

+ Mise en garde :

Ce n’est pas parce que deux variables aléatoires ont même fonction de répartition qu’elles sont

´egales !

6 Moments d’une variable al´ eatoire

6.1 Esp´ erance d’une variable al´ eatoire

Si on répète l’expérience un grand nombre de fois, on peut soup¸conner que la moyenne des réalisations deX va se stabiliser autour d’une valeur particulière. On dit dans ce cas que cette valeur est l’espérance de X. Assez intuitive sur des exemples simples, l’existence de cette espérance n’est néanmoins pas évidente dans le cas général. X peut d’ailleurs ne pas admettre d’espérance.

(25)

On admet l’existence d’une fonction ”espérance”, notéeE, définie pour certaines variables aléatoires et vérifiant :

• E est linéaire. Cela signifie que, si X et Y sont des variables aléatoires telles que E(X) et E(Y) existent et λ et µdes réels, alors E(λX +µY) existe et :

E(λX+µY) = λE(X) +µE(Y).

• Soient X et Y sont des variables aléatoires telles que |X| 6 Y. Si Y admet une espérance, alors X admet une espérance.

• Si X est `a valeurs positives et admet une esp´erance alorsE(X)>0.

• E(1) = 1 D´efinition 33

* Remarque :

On a vu en Bcpst1 que, pour une variable discr`ete finie X, E(X) existe et : E(X) =x₁P(X =x₁) +x₂P(X =x₂) +· · ·+x_nP(X =x_n)

avec n un entier naturel non nul et {x₁,· · · , x_n} = X(Ω). On se rend compte que E vérifie les propriétés de la définition précédente.

, Exemple :

1. Si A est un événement, 11A, fonction indicatrice de l’événement A, a une espérance et on a : E(11A) = P(A).

2. On peut vérifier que E(S) = 7 avecS la variable aléatoire de l’expérience 1.

Soient α et β deux r´eels. On suppose que E(X) et E(Y) existent, on a :

• E(αX +β) = αE(X) +β (Linéarité de l’espérance).

• E(αX +βY) = αE(X) +βE(Y) (Linéarité de l’espérance).

• Si α6X 6β alors α6E(X)6β (Croissance de l’esp´erance).

• Si X >Y alors E(X)>E(Y) (Croissance de l’esp´erance).

Proposition 34

On suppose que E(X) existe. On dit que X est une variable centrée si E(X) = 0. On appelle variable centrée associée àX la variableX−E(X).

D´efinition 35

La variable centrée associée à une variable aléatoire est centrée.

Proposition 36

(26)

Chapitre 2: Espaces probabilisés et variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire

6.2 Variance

• SiXadmet une espérance et si (X−E(X))² admet une espérance alors on appelle variance de X le réel V(X) défini par :

V(X) = E((X−E(X))²).

• Si X admet une variance, on appelle écart-type deX le réel σ(X) défini par : σ(X) =p

V(X).

D´efinition 37

* Remarque :

1. Si X admet une variance alorsσ(X) est bien d´efinie car la variance de X est un r´eel positif.

2. Si X^r, avec r entier naturel, admet une espérance alors on appelle moment d’ordre r de X le réel E(X^r) et moment centré d’ordre r de X le réel E((X −E(X))^r). Le moment centré d’ordre 2 de X est donc tout simplement sa variance.

(Formule de Kœnig-Huygens)

SiE(X²) est d´efini alors X admet une esp´erance et une variance et on a : V(X) = E(X²)−(E(X))².

Proposition 38

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. Si X admet une variance alorsX admet une esp´erance. La r´eciproque est fausse !

2. Pour évaluer la variance de X, il sera classique d’invoquer le théorème du transfert que l’on verra dans le chapitre sur les variables discrètes puis dans le chapitre sur les variables à densité et la formule de Kœnig-Huygens.

(27)

On suppose que V(X) existe.

1. Soient α etβ deux r´eels. αX +β admet une variance et on a : V(αX+β) =α²V(X).

2. Si la variance de X est nulle alors X est presque sˆurement certaine. Cela signifie qu’il existe un r´eel ctel que P(X =c) = 1.

Proposition 39

On suppose que V(X) existe. On dit que X est une variable réduite si V(X) = 1. On appelle variable centrée réduite associée à X la variable X−E(X)

σ(X) . On la note souvent X^?.

D´efinition 40

La variable centrée réduite associée à une variable aléatoire est centrée et réduite.

Proposition 41

6.3 In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev

In´egalit´e de Markov

On suppose que X est une variable positive admettant une esp´erance et que a est un r´eel strictement positif alors :

P(X >a)6 E(X) a . Proposition 42

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On suppose que V(X) existe. Pour tout r´eel strictement positifε, on a : P (|X−E(X)|>ε)6 V(X)

ε² . Th´eor`eme 43

(28)

Chapitre 2: Espaces probabilis´es et variables al´eatoires Calculs empiriques

* Remarque :

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité qu’une variable aléatoire puisse s’écarter de sa moyenne d’une quantité donnée a priori. Elle a l’avantage d’être universelle (elle s’applique

`

a toutes les variables aléatoires indépendamment de leur loi de probabilité) mais elle fournit des majorations souvent médiocres. Elle permet tout de même de retrouver que la variance est une quan- tification de la dispersion de la variable aléatoire autour de sa moyenne. On utilise les notations du précédent théorème. . La probabilité pour que X prenne des valeurs éloignées de E(X) d’au moins ε est d’autant plus faible que V(X) est plus petite.

, Exemple :

On entend souvent dire que l’´ecart-type est un indice de dispersion et que 95% des individus sont

`

a moins de deux écart-type de la moyenne. En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient pourtant que :

P(|X−E(X)|>2σ)6 1 4 soit P(|X −E(X)| 6 2σ) > 3

4. On vient donc d’obtenir que, quelle que soit la loi de la variable observée, 75% des individus sont à moins de deux écart-type de la moyenne. Le 95% provient de l’es- timation pour une loi normale dans une statistique d’échantillonnage. Nous reviendrons amplement là-dessus dans le chapitre ”Statistique inférentielle”.

7 Calculs empiriques

On suppose qu’on dispose d’une liste L regroupant les valeurs prises par une variable aléatoire X. Ces valeurs sont le résultat d’expériences indépendantes réalisées ou bien obtenues par simulation informatique. On suppose que l’on a N valeurs avec N un entier naturel assez grand pour que les résultats soient significatifs.

L=[s i m u l a t i o n for k in r a n g e(N)]

7.1 Esp´ erance et variance

Pour effectuer un calcul empirique de l’espérance et de la variance, on va utiliser le concept de moyenne empirique et la confondre avec l’espérance. On verra plus tard (lors du chapitre ”Théorèmes limites”) que la loi faible des grands nombres permet de valider cette approximation. On procède de la fa¸con suivante :

def e s p e r a n c e _ v a r i a n c e(L):

E = 0 E2 = 0 N = len(L) for x in L:

E += x E2 += x**2 E = E/N

E2 = E2/N

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V=E2-E**2 r e t u r n E, V

* Remarque :

C’est important de bien travailler avec la même liste L de résultats, en particulier si L est générée par simulation, il ne faut pas en créer 2 différentes pour l’espérance puis la variance.

7.2 Calcul empiririque de la loi pour une variable al´ eatoire finie

Soit X une variable aléatoire dont les valeurs sont, pour simplifier, J0, nK avec n un entier naturel non nul. On considère à nouveau une liste L de N (N un entier naturel grand) réalisations indépendantes de X.

def l o i _ e m p i r(L):

N = len(L) n=max(L)

loi = [ 0 ] * (n+1) for x in L:

loi[x] += 1/N r e t u r n loi

On obtient ainsi des valeurs approch´ee de la loi de X.

7.3 Fonction de r´ epartition empirique

On considère à nouveau queXune variable aléatoire dont les valeurs sontJ0, nK(avec nun entier naturel non nul) et dont on dispose d’une liste L de N (N un entier naturel grand) réalisations indépendantes de X.La fonction de répartition empirique est une fonction en escalier qui fait des sauts de hauteur 1

N en chaque point de l’´echantillon.

def r e p a r t _ e m p i r(L):

L.s o r t() N=len(L)

for k in r a n g e(N- 1 ) :

plt.p l o t(L[k:k+2] ,[(k+ 1 ) /N,(k+ 1 ) /N]) plt.s h o w()

On teste :

> > > L=[5 , 4 , 4 , 3 , 5 ,4 , 2 , 1 , 0 , 4 , 3 ] * 4 0

> > > e s p e r a n c e _ v a r i a n c e(L)

( 3 . 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 , 2 . 3 3 0 5 7 8 5 1 2 3 9 6 6 9 5 )

> > > l o i _ e m p i r(L)

[ 0 . 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 3 , 0 . 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 3 , 0 . 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 3 , 0 . 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 5 2 , 0 . 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 2 3 , 0 . 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 5 2 ]

> > > r e p a r t _ e m p i r(L)

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Chapitre 2: Espaces probabilis´es et variables al´eatoires Calculs empiriques

On a obtenu :

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8 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

On prélève cinq cartes d’un jeu de 32 cartes. Évaluer la probabilité des événements suivants : 1. A : ”Obtenir un carré”.

2. B : ”Obtenir cinq cartes de hauteurs distinctes”.

3. C : ”Obtenir exactement deux paires mais pas de full”.

. Exercice 2 :

On munit (N^?,P(N^?) de P une mesure de probabilit´e avec P d´efinie par : Pour tout entier naturel non nulk, on a : P({k}) = a

3^k

aveca un réel à déterminer. Déterminer a puis évaluer la probabilité d’avoir un nombre pair.

. Exercice 3 :

On prend un dé au hasard parmi un lot de 100 dés dont on sait que 25 sont pipés. Pour un dé pipé, la probabilité d’obtenir un 6 est 0,5.

1. On lance le dé, on obtient 6. Quelle est la probabilité pour que ce dé soit pipé ?

2. On relance le dé et on obtient un second 6. Quelle est la probabilité pour que ce dé soit pipé ? . Exercice 4 :

Soit C le cercle trigonométrique et soient les points A(1), G (i), B(-1) et P(-i). Pierre joue en dépla¸cant un pion sur C dans le sens trigonométrique de la fa¸con suivante : Le jeton se trouve initialement en A. Il lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et il déplace le pion d’un nombre de quart de tours égal au nombre indiqué par le dé. Par exemple si le dé marque 3, le pion est placé en P. La partie se déroule en 100 lancers maximum : Tant que le pion est en A ou B, on le déplace selon la règle ci-dessus. La première fois que le pion est placé en P, Pierre a perdu et le jeu s’arrête.

La première fois que le pion est placé en G, Pierre a gagné et le jeu s’arrête. Si après 100 lancers, le jeton se trouve en A ou en B, la partie est déclarée ” partie nulle ”. Pour tout entier naturel non nul n, on note a_n la probabilité pour que le pion soit en A après lenî`ême lancer du dé etb_nla probabilité pour que le pion soit en B après le nî`ême lancer du dé. On pose a₀ = 1 et b₀ = 0. Soit n un entier naturel non nul.

1. Calculer a₁ etb₁.

2. Exprimer a_n+1 etb_n+1 en fonction de a_n etb_n. 3. D´eterminer a_n et b_n en fonction den.

4. D´eterminer la probabilit´e que Pierre gagne.

On pourrait poursuivre cet exercice en évaluant la probabilité que la partie soit nulle puis la proba- bilité que Pierre perde.