Problème proposé par Dominique Roux
Q1 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs puisse être un carré parfait?
Q2 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait?
Q1 : Il y a une infinité de nombres n tels qu’il existe une somme de n carrés consécutifs dont la somme est un carré parfait : si n est un carré impair non divisible par 3 (25, 49, 121, 169, ...), n=m2=2k+1=(6p±1)2=36p2±12p+1,
soit k=6p(3p±1)=12, 24, 60, 84... ; b2=(a-k)2 +...+(a+k)2=(2k+1)(a2+k(k+1)/3) ; k(k+1)/3=2p(3p±1) est divisible par 4, puisque p et 3p±1 ne sont pas de même parité, et l’équation b2-na2=nk(k+1)/3 admet au moins la solution
a=k(k+1)/12-1, b=m(k(k+1)/12+1). A noter que la valeur n=25 entraine
a=k=12, ce qui donne une suite commençant par 0, ce qui est plutôt une solution pour n=24. Pour les valeurs supérieures, on a bien k<a.
Mais il existe d’autres valeurs de n, (2, 11, 23, 26,...) qui conviennent.
Q2 : Il y a une infinité de nombres n tels que la somme de n carrés consécutifs ne soit jamais un carré parfait : par exemple, puisqu’un carré est congru à 0 ou 1 modulo 3 (ou 4), la somme des carrés de 3 (resp 4) entiers consécutifs est égale à 2, donc la somme de 3, 12, 21, ..., 9k+3,... (respectivement 4, 12, 20, ..., 8k+4,..) carrés consécutifs ne peut être un carré parfait.
