A1806 – La saga de Méphisto (2ème épisode) [** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que σ(n) = n + φ(n) + τ(n) = 0.
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que 2n = φ(n) + σ(n) – τ(n) = 0.
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que m.σ(m) = n.σ(n) Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Déterminer le plus grand entier n tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
n = sigma(n) - phi(n) - tau(n) est vérifié pour tout n=2p avec p premier impair En effet, nous avons 2p = 3(p+1) - (p-1) - 4
Q2
2n = sigma(n) + phi(n) - tau(n) est vérifié pour n=27 2*27 = 40 + 18 - 4
Q3
Si m = 12*p et n = 14*p avec p premier >7, alors m/n = 6/7 = sigma(n)/sigma(m) Référence : https://oeis.org/A337873
Q4
signa(n) = 1 + n ssi n est premier.
Sinon sigma(n) >= 1 + d + n/d + n avec d>1.
(v(d)-v(n/d))² >= 0 => d + n/d >= 2v(n) où v() désigne la racine carré.
D'où sigma(n) >= 1 + 2v(n) + n
sigma(n) = n + k >= 1 + 2v(n) + n => n =< ((k-1)/2)² L'équation possède un nombre fini de valeurs en n.
sigma(n) = n + 2021 avec le plus grand n =< 1010² est 1 018 579 = n0
phi(n) = n - 2021 vrai pour 1 018 757 = n1
Remarque : aussi vérifié pour 1020521, 1021337, 1021721, 1022117
