A817– La saga de Méphisto

A817– La saga de Méphisto⁽¹⁾ (1^er épisode) [** à ***** à la main]

Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto⁽¹⁾ dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n

strictement positif affiché à l’écran :

1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.

2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]

Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]

Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement[*****]

(1)Nota : alias « mes φ σ τau »

Solution Q₁

On utilise la formules qui expriment les fonctions φ(n), σ(n) et τ(n) à partir de la décomposition d’un en entier n en facteurs premiers.

si





 ^r

i k ii

p n

1

alors







 ^r

i

ki

n

1

) 1 ( )

(

Un chemin possible pour passer de 7 à 5 est alors le suivant :

7σ(7) = 8 σ(8) = 15 σ(15) = 24σ(24) = 60 φ(60) = 16 τ(16) = 5

Q₂

En appliquant successivement six fois de suite la fonction σ à l’entier 2, on obtient les entiers 3,4,7,8,15,24 puis φ(7) = 6 et σ(6)= 12, puis σ(24) = 60, φ(60) = 16 et τ(16) = 5.Après quelques itérations on recueille ainsi les premiers naturels 3,4,5,6,7,8,12,15…mais l’obtention des nombres premiers 13,17,19,23…paraît difficile car la fonction φ donne des entiers pairs pour tout n > 2 et la fonction σ donne des entiers composés dès lors que n est distinct d’une puissance de 2. Il est donc nécessaire de passer par la fonction τ .Le

problème est résolu si l’on parvient à obtenir toutes les puissances de 2 et il suffit d'appliquer la fonction τ avec τ(2^k-1) = k .Comme φ(2^k-1) = 2^k-2,on obtient en alternant les fonctions φ et τ tous les entiers allant decrescendo de k – 1 à 3.

Afin d’obtenir une puissance de 2 d’ordre k ≥ 24,on passe par la fonction σ itérée un grand nombre de fois qui donne un très grand entier n de la forme n = 2^αqoù q est un nombre impair et α aussi proche que possible de 24.

On désigne par v₂(n) la valeur 2-adique de n qui est la valeur de l’exposant de 2 dans la factorisation de n.

On sait que v₂(φ(n)) < v₂(n) si et seulement si n est une puissance de 2 et si v₂(φ(n)) = v₂(n).En composant φ plusieurs fois de suite sur n on finit par obtenir 2^v₂(n) .

Voici un chemin possible qui permet de passer de 2 à l’entier 25 :

2σ(2) = 3σ(3) = 4σ(4) = 7φ(7) = 6σ(6)=12σ(12) = 28σ(28) = 56σ(56) = 120

σ(120)= 360σ(360)=1170σ(1170)=3276σ(3276)=10192σ(10192) = 24738 σ(24738) = 61440

 σ(61440) = 196584  σ(196584) = 491520  σ(491520) = 1572840  σ(1572840) = 5433480

σ(5433480) = 20180160  σ(20180160) = 94859856  σ(94859856) = 355532800 

σ(355532800) = 1040179456  σ(1040179456) = 2143289344 = 2²².7.73  φ(2143289344) = 905969664

= 2²⁵.3³ φ(2²⁵.3³ ) = 2²⁵.3² φ(2²⁵.3²) = 2²⁵.3φ(2²⁵.3) = 2²⁵φ(2²⁵) = 2²⁴  τ(2²⁴) = 25.

On obtient ainsi 25 puis successivement par la fonction φ qui fait passer les puissances de 2 decrescendo de 25 à 2,tous les entiers de 24 à 3 par le biais de la fonction τ.

Q₃

Pour éviter des confusions avec les notations utilisées dans Q₁ et Q₂ avec p et q, on retient le passage de l’entier a à l’entier b.

Grâce à la fonction τ caractérisée par l’inégalité τ(n) < n pour tout n > 2 et appliquée autant de fois que nécessaire (afqn), en partant de l’entier a on se ramène à l’entier 2 avec τ(τ..(τ(a))) = 2.On se retrouve ainsi dans les conditions de la question Q₂ et l’on arrive à l’entier b recherché si en combinant les fonctions σ et φ on obtient un entier de la forme 2^b-1q avec q nombre impair.

L’entier b est ainsi atteint si on obtient un entier n divisible par 2^b-1 ou un entier n qui a b – 1 facteurs premiers distincts, la fonction φ appliquée afqn aboutissant à un entier divisible par 2^b-1.

On désigne par f(n) la fonction « nombre de facteurs premiers de n, y compris la multiplicité ». Par exemple avec n = 840 = 2³.3.5.7, f(840) = 5.

Soit un nombre premier p. Dans la suite des entiers obtenus par les calculs successifs de φ⁽ⁱ⁾(p)/2, on désigne par g(p) le premier entier non premier ainsi obtenu.

Lemme n°1 : soit un entier c. Pour tous les nombres premiers p suffisamment grands, g(p) > c.

Démonstration : on suppose le contraire et g(p) = s une infinité de fois. Il en résulte que 2s + 1, 4s + 3,…., 2^m(s + 1) – 1 ...sont tous des nombres premiers. Si l’on prend m = 2s + 1, alors 2^m(s + 1) – 1 = 0 modulo 2s + 1. Contradiction

Lemme n°2 : soit un entier c. Pour tous les nombres premiers p suffisamment grands, il y a un indice i tel que f(φ⁽ⁱ⁾(p)) ≥ c.

Démonstration : on raisonne par récurrence. Le cas c = 1 est trivial et on suppose que la propriété est vraie pour tous les entiers de 1 à c.

Soit q le plus grand nombre premier tel que pour i ≥ 1, on a maximum des f(φ⁽ⁱ⁾(q) ≤ c – 1.

D’après le lemme n°1, on choisit p tel que g(p) > q^c+1.

Si les diviseurs premiers de g(p) sont inférieurs ou égaux à q,alors f(2g(p)) ≥ c + 1.

Si g(p) a un diviseur r > q, alors en appliquant φ afqn à p, 2g(p) = 2rk pour un certain entier k >1.

Par hypothèse il y a un indice j tel que f(φ^(j)(q)) ≥ c. Comme φ^(j)(r) divise φ^(j)(2rk), alors f(φ^(j)(2rk)) ≥ c.

On veut démontrer que l’inégalité est stricte à savoir φ^(j)(r) ≠ φ^(j)(2rk), ce qui est le cas : si j = 1 en raison de k >1 et si j > 1,avec m pair, m≠ n, m divise n entraîne φ(m) ≠ φ(n).

On étend le lemme n°2 aux entiers N suffisamment grands qui se substituent aux nombres premiers p. En effet soit N a un diviseur premier = p et φ⁽ⁱ⁾(p) divise φ⁽ⁱ⁾(N) ou bien N a au moins c facteurs premiers distincts.

Partant de l’entier 2, d’après le lemme n°2, en appliquant la fonction σ afqn on obtient un indice i tel que f(σ⁽ⁱ⁾(2)) ≥ 2^b + b. On applique alors la fonction φ afqn jusqu’à ce que la fonction f commence à décroitre car on obtient un entier k de la forme 2^α.3^β avec α + β ≥ 2^b + b. Si α ≥ β, alors v₂(k) ≥ b et en en itérant afqn la fonction φ, on arrive à un entier k = 2^b-1 et on termine en appliquant la fonction τ. Ou bien β≥ 2^b et dans ce cas on applique afqn la fonction φ jusqu’à l’obtention de v₃(k) = 2^b-1 – 1,valeur à laquelle on applique à nouveau la fonction τ.