A817 - La saga de Méphisto (1er épisode)

Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto⁽¹⁾ dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :

1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.

2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]

Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]

Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement [*****]

(1)Nota : alias « mes φ σ τau »

Q

: φ(n) est un nombre pair dès que n>2, et 5 n’est pas une somme de diviseurs ; puisque τ(p

)=n+1, 5 ne peut donc être qu’un nombre de diviseurs, pour la puissance quatrième d’un nombre premier, la plus petite étant 16 : en effet, on peut obtenir σ(7)=8, σ(8)=15, σ(15)=24, σ(24)=60, φ(60)=16 et τ(16)=5.

Q

: Considérons la suite u

=2, u

=σ(u

) (OEIS A007497). Cette suite est croissante, et l’on constate que l’exposant du facteur 2 dans φ(u

) a tendance à croitre : par exemple si l’on s’intéresse au 26

terme u

=33463001088=2

*3

*11

*31, φ(u

)=2

*3

*5

*11

, et en appliquant φ à nouveau on obtient successivement : 2

*3*5

*11

, 2

*5

*11, 2

*5

, 2

*5 et 2

; si l’on continue au delà on obtient en décroissant toutes les puissances de 2 de 25 à 1, qui, en appliquant τ, donnent les nombres de 26 à 2.

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