Problème proposé par Dominique Roux
On donne trois points A,B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.
Montrer que les 7 points A, B, C, A', B' C', M sont sur une même hyperbole équilatère (H).
Quel est, lorsque M parcourt le plan, l'ensemble des centres I de (H) ?
A, B, C et M appartiennent à une même hyperbole équilatère dont le centre est I.
Deux points diamétralement opposés M et M’ sur une hyperbole équilatère voient tout segment BC sous des angles supplémentaires, or BA’C=π-BMC=BM’C, donc A’M‘ B et C sont cocycliques.
Dans l’homothétie de centre M de rapport 1/2, le cercle circonscrit à BCA’M’
devient le cercle passant par les milieux de MB, MC, MA’, et le centre I de l’hyperbole : c’est donc le cercle d’Euler de MBC, et I appartient à ce cercle.
Il en est de même pour les triangles MCA, MAB et ABC ; I est l’intersection des 4 cercles d’Euler, et décrit le cercle d’Euler de ABC, lorsqu’on fait varier le point M.
On retrouve au passage que dans un quadrilatère ABCM, les cercles d’Euler des triangles ABC, ABM, BCM, CAM sont concourants (point d’Euler-Poncelet).
![La droite (AB) est orthogonale au plan (BCD). M est un point variable sur le segment [BC] privé des points B et C. On pose BM = x.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)