(*) Comme (BA,BM) = (BA, BC) est constant, il s’ensuit que

D1869. Deux lieux pour un point courant ***

Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue de A.

Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire en A au segment AM coupe la droite [BC] au point N. La droite [MO1] coupe le cercle de diamètre MN et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P.

Déterminer les lieux des points P et O3 quand M parcourt la droite [BC].

PROPOSITION Th Eveilleau

Nous allons montrer que l’angle (BA, BP) est CONSTANT.

K est le point d’intersection du cercle (ABM), de la droite (MO1) qui est un diamètre de ce cercle.

K appartient donc au côté (AK) de l’angle droit en A.

(BK,BM) = 90° car inscrivant un diamètre du cercle (ABM).

Donc (BK,BA) + (BA,BM) = 90°

(*)

Comme (BA,BM) = (BA, BC) est constant, il s’ensuit que

(BK,BA) est constant comme complément de l’angle du triangle (ABC).

(BK,BA) = 90° -

(**).

Comme angles inscrits dans (ABM).nous avons (BK, BA) = (MP,MA) = 90°-  (MP,MA) est constant.

---

Nous avons avec les angles inscrits dans le cercle de centre O2 : (O2P,O2A) = 2*(MP,MA)

 (O2P,O2A) est un angle CONSTANT de 2*(90°- )

(***).

Montrons que A, P, O2 et B sont cocycliques.

(PO2, PA) = ½ *{ 180° - (O2P,O2A) } (triangle isocèle en O2 : (PAO₂) (PO2, PA) = 90° - ½ (O2P,O2A)

(PO2, PA) = 90° - (MP,MA) = 90° - (MK,MA)

(PO2, PA) = 90° - (BK,BA) car (MK,MA) et (BK,BA) angles inscrits dans le cercle de centre O1.



(PO2, PA) = (BA,BM) d’après la relation

(*)

(PO2, PA) = 180° - (BO2,BA)

Les angles sont supplémentaires. Il s’ensuit que A, O2, P et B sont cocycliques.

Ces quatre points A, O2, P et B sont donc cocycliques dans le cercle de centre O3 défini dans le texte.

(****)

Avec les angles inscrits dans ce cercle nous déduisons : (O2P,O2A) = (BP,BA)

 (BP,BA) = 2*(MP,MA)

Enfin avec

(**)

(***)

(BP, BA) est un angle CONSTANT de 2*(90°- )

Quand M se déplace sur [BC], P décrit le segment de droite la demi-droite limitée par la position limite de P lorsque M est en C.

Cette demi-droite fait avec (BA) un angle de 2*(90°- ).



Nous avons vu avec

(****)

Il passe par deux points fixes A et B.

En conséquence son centre se déplace sur la médiatrice de [AB].

Lieu de P en noir et gras, lieu de O3 en rouge : médiatrice de [AB].