D1869
Louis Rogliano
Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue de A. Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire en A au segment AM coupe la droite [BC] au point N. La droite [MO1] coupe le cercle de diamètre MN et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P. Déterminer les lieux des points P et O3 quand M parcourt la droite [BC].
1) Montrons queO1 etB sont sur le cercle(AO2P).
N AM\ = π
2 doncAest sur le cercle de diamètre [M N].
SoitH le point d’intersection de la droite(M O1)et du cercle(ABM).
Dans le cercle(ABM),AO\1H = 2AM H.\ Dans le cercle(AM N),AO\2P = 2AM P\.
Il en résulte queAO\1P =AO\2P etO1 est sur le cercle(AO2P).
Les trianglesP M O2 etBM O1sont isocèles de sommets respectifsO2 etO1et ils ont un angle à la base en commun, doncO\1BO2 =O\1P O2 etB est sur le cercle(AO2P).
La droite(O1O3)est donc la médiatrice du segment[AB]et le lieu deO3 est cette médiatrice.
2)HAM\ =HBM\ = π
2 doncH est sur la perpendiculaire àM N passant parB. Dans le cercle(ABM),HO\1A = 2HBA.\
Dans le cercle(AO2P),P BA[ =P O\1A= 2HBA.\
Il en résulte que la droite(BH)est la bissectrice deP BA.[
Le lieu deP est la droite symétrique de la droite(AB)dans la symétrie d’axe (BH).
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