D1857. La saga de l'angle de 45° (1er épisode)
Les hauteurs BB1 et CC1 d'un triangle scalène acutangle ABC se coupent en l'orthocentre H. Les droites symétriques de la médiane AM par rapport aux droites BB1 et CC1 se coupent en un point X.
Démontrer que le triangle AHX est isocèle de sommet A si et seulement si l'angle en A du triangle ABC est égal à 45°.
On suppose que le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle unité. Les affixes des points A, B, C, X sont désignés par a, b, c, x.
BÂC = +45° équivaut à BÔC = +90°, ou c = +ib, ou b²+c² = 0
Rappel : Si m et n sont les affixes de deux points M et N du cercle unité, l'affixe p du symétrique P du point X par rapport à la la corde MN est m+n – mn
̄ x
La hauteur issue de B recoupe le cercle unité en un point d'affixe b' tel que │b'│= 1 et (b' – b)/(a – c) est imaginaire pur :
(b '−b)
( a−c)
+(1/ b ' −1 /b)
(1 /a−1 / c)
= 0, 1+ac (bb ' )
¿
= 0, b' = – ac/b.
L'affixe du symétrique de X par rapport à BB' est z = b – ac/b + ac
̄ x
, ce point est sur la médiane AM si (z – a)/(b+c – 2a) est réel , si (b² – ac– ab +abc̄ x
)/[b(b+c – 2a)] est égal à son conjugué(b
2−ab−ac+ abc ̄ x ) (b (b+c−2a ))
=(bx+ ac−b
2−bc) (ab+ac−2bc)
D'où
̄ x
=( xb
2(b +c−2a )+(b
2+c
2)( a
2−b
2)+ab(b
2−c
2)) ( abc( ab+ac−2bc))
De même, le symétrique de X par rapport à CC' est sur la médiane AM se traduit par : D'où
̄ x
=( xc
2(b+c− 2a)+(b
2+c
2)(a
2− c
2)+ac( c
2−b
2))
( abc (ab+ac− 2bc))
On résoud l'équation en x :x(b² – c²)(b+c – 2a) + (b²+c²)(c² – b²) + a(b+c)(b² – c²) = 0
b+c ≠ 0 car BÂC < 90°, et b – c ≠ 0 car B et C sont distincts, on simplifie par (b² – c²) qui n'est pas nul.
x(b+c–2a) – (b²+c²) + a(b+c) = 0 x =
(a (b +c )−b
2−c
2)
(2a−b−c )
est bien l'affixe du point d'intersection des symétriques de la médiane AM par rapport aux droites BB1 et CC1 .L'affixe de H est a+b+c.
AH² = │(a+b+c) – a│² = (b+c)(1/b+1/c) = (b+c)² /(bc) AX² = (x – a)(
̄ x
–̄ a
)x – a =
(2ab+2ac− 2a
2−b
2−c
2)
( 2a−b−c)
,̄ x
–̄ a
=(a
2b
2+a
2c
2+2b
2c
2−2abc( b+ c))
(abc ( ab+ ac−2bc))
AH² – AX² =((2ab+ 2ac−2a
2− b
2− c
2)(a
2b
2+a
2c
2+2b
2c
2−2abc (b+ c)))
(abc (2a −b− c)(ab+ac− 2bc))
–(b+c)
2( bc)
AH² – AX² = –(2 (b
2+ c
2)(a
2−bc)
2)
(abc (2a −b−c )(ab+ac− 2bc))
Le triangle ABC est scalène donc a² – bc ≠ 0, il y a équivalence entre les trois propriétés :
HAX est un triangle isocèle de sommet A , b²+c² = 0 , l'angle en A du triangle ABC est égal à 45°.
Une remarque : si HAX est isocèle de sommet A, X est sur le cercle de centre A, circonscrit au triangle C'HB', la médiane AM est la droite de STEINER de X pour ce triangle C'HB'. (figure page 2)
