D160 – Les sept nains apprennent la géométrie [**** à la main]
Solution
Initiation d’At..choum, de Simplet et de Joyeux sous la houlette de Prof :
Dans ce problème comme par la suite on désigne les sommets des triangles par les initiales des nains .
Comme JAV = 20° et JPS = 30°, on obtient ASP = 10°. On construit le triangle équilatéral AVJ avec J du même côté que S par rapport à AJ. Comme AV = AJ = AS, le triangle ASV est isocèle de sommet A. On en déduit ASV = AVS = 70°. D’où JVS = 10°
Par ailleurs SJV = SJA - VJA = (180-20)/2 – 60° = 80° - 60° = 20°.
Les deux triangles APS et JSV qui ont trois angles égaux (10°, 20° et 150°) ainsi qu’un côté de même longueur (JV = AJ = AS), sont égaux entre eux.
D’où AP = JS. La distance qui sépare Prof d’Atchoum est égale à 20 mètres.
Initiation de Timide, Grincheux et Dormeur toujours sous la houlette de Prof:
Soit U le point symétrique de T par rapport à la droite GP. GU coupe DT et DP
respectivement en X et Y. On a GTU = GUT = (180-20)/2 = 70°. Comme DTU = 70°
- 10° - 40° = 20°, on déduit que le triangle UTX est rectangle en X. D’où DYX = 90° - 30°
= 60° et PYU = 120°.
Par ailleurs PTU = PUT = 70° - 10° = 60°. Le triangle PUT est équilatéral et UPT = 60°. Comme PTU et PYU sont supplémentaires, les quatre points P,T,U et Y sont cocycliques et UPT = UYT = 60°.
Dans le triangle YDT, YX est en même temps hauteur et bissectrice. YDT est donc un triangle isocèle. Il en est de même du triangle GDT qui est isocèle de sommet G.
La distance qui sépare Dormeur de Grincheux est alors égale à 10 mètres.
At…choum, Grincheux et Dormeur ont besoin d’une autre leçon (voir figure 3 ci- dessus):
La médiatrice de DG passant par P coupe le côté AD en un point U. La droite GU coupe la parallèle à DG passant par A au point V. Le triangle UDG est isocèle de sommet U avec les angles aux sommets D et G egaux à u. Il en est de même du triangle AGV isocèle de sommet A avec AGV = 2u – u = u et AVG = DGV = u. et du triangle PAV de sommet P et d’angles aux sommets A et V égaux à u + v. Or la somme des angles du triangle ADG est égale à 3(u+v) = 180°. Il en résulte que u + v = 60°. Le triangle PAV est donc équilatéral et AP = AV = AG = 10 mètres.
Prof fait participer tous les nains (voir figure 4 ci-dessus):
Soit U le point symétrique de P par rapport S. Comme SJ = SG et SP = SU, il en résulte que GU est parallèle à JP et GU = JP. Dans le triangle équilatéral AJT, P est le centre de gravité et JP qui coupe AT en H est à la fois la médiane et la hauteur issue de J avec JP = 2PH. Le quadrilatère GHPU est un trapèze rectangle dont la base GU est le double de PH. Il en résulte que le triangle PGU est isocèle de sommet P et PG = PU = 2PS.
D’où la distance PS séparant Prof de Simplet qui est égale à 10 mètres.
