D1909. Deux angles supplémentaires
A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.
Solution proposée par Pierre Gineste
Triangle ABC. Soit ^BAP = q, ^CAP = q', a = q + q' Soit ÂPM = u et ^BPC = v
ABC étant isocèle, on a: AC = BC = AB/2cosa
Egalités dans le triangle ABP: AB/sina = BP/sinq = AP/sinq' (1) Egalités dans le triangle AMP: AB/2sinu = MP/sinq = AP/sin(u+q) (2)
==> en éliminant les termes AB et AP: 2sinu/sin a = sin(u+q)/sinq' on élimine q' en le remplaçant par q' = a - q
on obtient: 1/tgu = 1/tgq – 2/tga (3)
Egalités dans le triangle CBP: CB/sinq = BP/sin(v+q) = BC/sinv = AB/(2sinasinv) (4)
==> en éliminant les termes AB et BP en combinant (1) et (4): sinq /sin(v+ q) = tga/2sinv on obtient: 1/tgv = 2/tga – 1/tgq = 1/tgu
==> u + v = p CQFD
