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D1937 – La saga orthocentrique (1

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Academic year: 2022

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(1)

D1937 – La saga orthocentrique (1er épisode) [**** à la main]

Problème proposé par Dominique Roux

On donne trois points A, B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.

Q1 Montrer que les 7 points A, B, C, A', B' C', M sont sur une même hyperbole équilatère (H).

Q2 Quel est, lorsque M parcourt le plan, l'ensemble des centres I de (H) ? Solution proposée par Paul Voyer

Q1

Les orthocentres A', B', C' des triangles MBC, MCA et MAB sont sur l'hyperbole équilatère passant par A, B, C, M.

Une démonstration se trouve à :

http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/QDEuler3.htm

Q2

Théorème de Poncelet et Brianchon : si une hyperbole équilatère passe par les 3 sommets d'un triangle, alors son centre est sur le cercle d'Euler du triangle.

Démonstration au même endroit.

Ici, le lieu des points I est le cercle d'Euler du triangle ABC.

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