D1939 – La saga orthocentrique (3ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
On donne trois points A, B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.
Montrer que lorsque M se déplace dans le plan, le triangle A'B'C' a une aire constante.
Solution par Patrick Gordon
Prenons d'abord M sur une hauteur du triangle ABC, soit AA" (A" désignant le pied de cette hauteur sur BC) pour fixer les idées.
B' est sur BC, car la hauteur issue de B au côté MA de MAB est perpendiculaire à la hauteur AA". De même, C' est sur BC.
Le triangle A'B'C' a donc pour base B'C' (sur BC) et pour hauteur A"A'.
Mais B'C' = B'A" + A"C'. Or MB' étant, par construction, perpendiculaire à AC, l'angle MB'A" n'est autre que le complémentaire de l'angle C du triangle ABC et, par conséquent, B'A" = A"M tanC. De même, A"C' = A"M tanB.
L'aire du triangle A'B'C' est donc : ½ A"A'. A"M (tanB + tanC).
Si nous parvenons à montrer que A"A'. A"M est une constante, nous aurons établi que l'aire du triangle A'B'C' est constante quand M décrit la hauteur AA".
Or A' est l'orthocentre du triangle MBC et, par conséquent, les triangles A"A'B et A"CM sont semblables et l'on a donc A"A' / A"C = A"B / A"M, ce qui établit bien que A"A'.A"M = A"B.A"C = constante (c'est là une propriété valable pour tout triangle).
Ainsi, l'aire du triangle A'B'C' vaut :
½ A"A'. A"M (tanB + tanC) = ½ A"B.A"C (tanB + tanC).
Mais A"B = c cos B et A"C = b cosC et donc :
½ A"B.A"C (tanB + tanC)
= ½ bc (tanB + tanC) cosB cos C
= ½ bc (tanB + tanC) cosB cos C
= ½ bc sinB cosC + sinC cosB = ½ bc sinA
L'aire du triangle A'B'C' est donc égale à celle du triangle ABC.
Ce résultat est valable, rappelons-le, quel que soit M sur la hauteur AA". Il l'est naturellement aussi quel que soit M sur la hauteur BB" et sur la hauteur CC".
L'aire du triangle A'B'C' est donc constante sur 3 droites distinctes (et concourantes) du plan.
Or, pour ABC donnés, cette aire est fonction des seules coordonnées (soit x,y) de M.
Les coordonnées de A' se déduisent de celles de A,B,C (soit xA,yA etc.) et de M(x,y) en écrivant que les produits scalaires MA'.BC et BA'.MC sont nuls, soit un système de Cramer qui donnera des expressions linéaires de x,y. Et de même pour les coordonnées de B' et C'.
Quant à l'aire du triangle A'B'C' elle s'exprimera par la valeur absolue du demi produit vectoriel de A'B' par A'C', soit une expression du second degré en x,y.
Ainsi, l'aire du triangle A'B'C' est une fonction quadratique de x,y constante sur 3 droites distinctes (et concourantes) du plan. Elle est donc constante sur tout le plan. CQFD
