3. Calcul de la constante solaire

(1)

TF06

- Final P2013 - Exercice 1

A - Rayonnement solaire

Données :

Rayon du soleil _RS:= 696 10× ³×km =6.96 10´ ⁸m σ:=5.67 10× ^-⁸×W×m-2×K-4 TS:= 5800×K

Rayon de la terre _RT:=6380×km= 6.38 10´ ⁶m Distance terre-soleil _DTS:= 150 10× ⁶×km= 1.5 10´ ¹¹m

1. Émittance et luminance du soleil

_M0:=_σ_×_TS⁴ =_{64.165 10}_´ ⁶×W m× -2 L0 M0

πsr =20.424 10´ ⁶×W m× -2×sr-1 :=

2. Angle solide

_Ω ^π ^RT

× 2

DTS2 ×sr =5.683 10´ ^-⁹×sr :=

Φ L0×Ω×π RS2

× = 176.65 10´ ¹⁵W :=

3. Calcul de la constante solaire

_CS ^Φ

π×RT2

1381×W m× -2

= :=

Une autre méthode peut‐être u lisée, en appliquant la règle de conservaon de l'énergie solaire traversant 2 sphères centrées sur le soleil, dont l'une a le rayon du soleil, et l'autre un rayon correspondant à la distance terre-soleil.

M0 4×π RS2

æ ×

è ö

× ø CS 4×π DTS2

æ ×

è ö

× ø

= CS 4×π×RS2

4×π×DTS2×M0=1381×W m× -2 :=

1/2 ^25/06/2013

(2)

TF06

- Final P2013 - Exercice 1

B - Capteur solaire

Données : L:=1×m T0:=20 °C =293.15K ϕ:=850×W×m-2 σ= 5.67 10´ ^-⁸×W m× -2×K-4 hc 1.32 ^{Tv T0}^-

L

æç è

ö÷ ø

0.25

×

= hc Kh Tv T0-

L

æç è

ö÷ ø

0.25

×

= Kh 1.32 ^W

m2×K

× m

æçK

è ö÷ø

0.25

× :=

1. Bilan sur la plaque

ϕ σ TP4 TV4

æ -

è ö

× ø

=

2. Bilan sur la vitre

σ TP4 TV4

æ -

è ö

× ø σ TV4

T04

æ -

è ö

× ø⁺hc TV T0^×

(

-

)

=

σ TP4 TV4

æ -

è ö

× ø σ TV4

T04

æ -

è ö

× ø Kh TV T0- L

æç è

ö÷ ø

0.25

× ^×

(

TV T0-

)

+

=

Notons qu'il n'est pas possible de négliger le rayonnement de l'air : σ T04

× = 419×W m× -2 à comparer à ϕ=850×W m× -2

On a 2 équaons et 2 inconnues :

Soit ϕ σ TV4 T04

æ -

è ö

× ø Kh

L0.25^×

(

TV T0-

)

^1.25

+

= ϕ σ TP4

TV4

æ -

è ö

× ø

=

après réarrangement, la première équaon devient :

σ TV4

× Kh

L0.25^×

(

TV T0-

)

^1.25

+ ϕ σ T04

×

æ +

è ö

- ø 5.67 10× ^-⁸ T4

× +1.32×

(

T-293.15

)

^1.25-1268.738

= =0

Toutes les méthodes numériques ou graphiques sont bonnes pour trouver :

TV= 364.1K TP= 424.8K TV= 91.0×°C TP= 151.7×°C

(3)

TF06

- Final P2013 - Exercice 2 Échangeur à courants croisés Données : huile chaude, ﬂuide brassé

m1 150 ^kg

×min 2.5^kg

= s

:= cP1 1700 ^J

kg K×

×

:= T1E:= 120°C T1S:=60°C

eau froide, ﬂuide non-brassé m2 90 ^kg

×min 1.5^kg

= s

:= cP2 4180 ^J

kg K×

×

:= T2E:= 10°C U 400 ^W

m2×K

× :=

On u lise la méthode du NUT (Nombre d'Unités de Transfert)

On déﬁnir les débits de capacité

thermique (appelés aussi débits caloriﬁques) : débit massique × capacité thermique massique

C = m∙c_P= ρ∙V∙c_P

C1 m1 cP1:= × = 4250×W K× -1

C2 m2 cP2:= × = 6270×W K× -1

Cmin min C1 C2:=

(

,

)

=¹×C1 brassé (huile chaude) On détermine le plus pet et le plus

grand de ces paramètres

Cmax max C1 C2:=

(

,

)

= ¹×C2 non brassé (eau froide)

Ainsi que le rapport des débits de

capacité thermique ^CR

Cmin

Cmax = 0.678 :=

Puissance échangée Φ⁼C1 T1E T1S^×

(

-

)

⁼C2 T2S T2E^×

(

-

)

Φ^:=C1 T1E T1S^×

(

-

)

⁼ ²⁵⁵^×^kW

T2S T2E Φ

+ C2 = 50.67×°C :=

On évalue le débit énergéque maximal échangé

Φmax^:=Cmin T1E T2E^×

(

-

)

⁼ ^467.5^×^kW

Calcul de l'eﬃcacité ε Φ

Φmax = 54.5×% :=

NUT ln

(

1⁺_{CR ln}^×

(

1-ε

) )

CR

æççè ö÷

- ÷ø =1.128

C_min brassé et C_max non brassé :=

NUT U S×

= Cmin On trouve donc la surface

d'échange : ^S

NUT Cmin×

U 12.0 m2

×

= :=

Ce produit est donc une constante

caractérisque de l'échangeur ^{U S}^× = 4793.515×W K× -1

MH ^1/2 ^09/07/2013

(4)

Baisse du débit d'eau de refroidissement m2 50 ^kg

×min 0.833^kg

= s

:= C2 m2 cP2:= × = 3483.333×W K× -1 C1= 4250×W K× -1

Cmin min C1 C2:=

(

,

)

=¹×C2 non brassé (eau froide) Cmax max C1 C2:=

(

,

)

= ¹×C1 brassé (huile chaude) CR Cmin

Cmax = 0.82 :=

C_min ayant changé, on recalcule NUT et Φ_max

NUT U S×

Cmin = 1.376 :=

Φmax^:=Cmin T1E T2E^×

(

-

)

⁼ ^383.2^×^kW

C_min non brassé et C_max brassé ε 1^-_{exp CR}_éë- ^×

(

1-exp NUT(- )

)

_ùû

CR = 55.9×% :=

Φ:=ε Φ× max =214.146×kW

T1S T1E Φ

- C1 = 69.6×°C :=

T2S T2E Φ

+ C2 = 71.5×°C :=

(5)

TF06

- Final P2013 - Exercice 3 Cuve agitée cylindrique Données : Fluide : μ:=10^-³×Pa×s ρ 1000 ^kg

m3

×

:= CP 4180 ^J

kg K×

×

:= λ 0.6 ^W

m K×

× :=

Cuve : D:=1×m d:=0.3×m N:=6×s-1 H:=1×m

V π D2

×

4 ^×^H= 785.398L

:= Npo:= 0.37 TP:=120°C T0:=20 °C TE:=100°C

1. Calcul de Reynolds _ReA ^{N d}

× 2×ρ

μ =5.4 10´ ⁵

:= turbulent

2. Puissance dissipée _P _Npo×ρ N3

× d5

× = 194.2W :=

Bilan : _P ρ×V×CP dT

× dt

=

0 t

P t óô

õ d

T0 T

ρ×V×CP T óô

õ d

=

On a au choix : T t( ) T0 P ρ×V×CP×t +

:= ou t T( ) ρ×V×CP

P ^×

(

T T0-

)

:=

P

ρ×V×CP 5.916 10´ ^-⁵K

= s ρ×V×CP

P 1.69 10´ ⁴s

= K

Pour aeindre l'ébullion T_E = 100°C _{t1 t TE}^:=

( )

⁼ ^{1.352 10}^´ ⁶^s t1 =15.7×jour C'est bien long...

3. Chauﬀage externe On commence par calculer le coeﬃcient de transfert.

On a besoin de Reynolds et de Prandtl Pr μ×CP

λ =6.967

:= ReA= 5.4 10´ ⁵ Nu 0.54 _ReA

2

× 3 Pr

1

× 3 = 6839.084 :=

Surface d'échange : On en déduit h_c

hc Nu λ

×D = 4103×W m× -2×K-1 :=

S π×D×H 3.142m2

= :=

Bilan : ρ×V×CP dT

× dt ⁼ P⁺hc S× ^×

(

TP T-

)

^ρ^×_{hc S}^V^×_×^CP^×^dT_dt = _{hc S}^P_× +TP-T On sépare les variables : ^dT

P hc S× +TP

æç è

ö÷ ø^-^T

hc S× ρ×V×CP×dt

= Tmax P

hc S× +TP= 393.165K :=

τ ρ×V×CP

hc S× =254.664s

:= P

hc S× = 0.015K TP= 393.15K On peut assimiler T_max et T_P

T0 T

1 T Tmax T- óô

ôô õ

d 0

t

1 t τ óô ôõ

= d T t( ) Tmax Tmax T0

(

-

)

^e

-t

× τ -

:=

t T( ) τ ln Tmax T0- Tmax T-

æç è

ö÷

× ø

:= t2 t TE^:=

( )

⁼ ⁴¹⁰^s t2 =6.8×min

MH ^1/2 ^09/07/2013

(6)

4. Corrélaon

tebul(μ, N) 1

4 0.54× ×D2 ρ 1

× 3 CP 2

× 3 d

4 - 3

× λ

2 -3

×

æç çè

ö÷

÷ø ^μ

1

× 3 N 2 -3

× ln Tmax T0- Tmax TE-

æç è

ö÷

× ø

:=

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1

2 3 4 5 6 7

µ=1,00mPa.s µ=0,75mPa.s µ=0,50mPa.s µ=0,25mPa.s temps fonction de N et µ

Nombre de tours/min

temps d'ébullition (min)