Optimisation du chauffage d’un fourF. Nataf nataf@ann.jussieu.fr On consid`ere un four de forme rectangulaire, comportant des r´esistances. On se propose de chercher les valeurs `a donner aux r´esistances de sorte que la temp´erature dans une partie du four soit proche d’une valeur fix´ee `a l’avance.
On notera Ω l’ouvert repr´esentant le four et S la pi`ece `a chauffer. Le four est un carr´e de 2m de cˆot´e et la pi`ece `a chauffer est un rectangle de 1m sur 0,4m plac´ee au centre du four. On notera Ci (i = 1, . . . ,4) les r´esistances mod´elis´ees comme des cercles de rayon 0,05m et plac´ees aux points de coor- donn´ees (±0,75m,±0.75m), l’origine est plac´ee au centre du carr´e.
Le bord sup´erieur du four est suppos´e maintenu `a une temp´erature fixe de 50oC, le bord inf´erieur `a une temp´erature fixe de 10oC. Les deux bords lat´eraux sont isol´es, le flux de chaleur y est nul. La temp´erature dans le four est r´egi par l’´equation de la chaleur
−∇ ·(k∇T) =f . (1)
Dans cette ´equation,k est le coefficient de diffusion thermique qui est variable et vaut 1 dans la pi`ece `a chauffer et 10 dans le reste du four,f est la source de chaleur et est de la formef =P4
i=1αi1Cio`u les coefficientsαisont `a d´eterminer et1C est la fonction caract´eristique du domaineC.
Travail demand´e
Probl`eme direct: On suppose connus les coefficients (αi)i=1,...,4et l’on cherche
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a calculer la temp´erature qui en r´esulte. Ecrire la formulation variationnelle et le programme FreeFem++ correspondants. On noteraT(α) la solution du probl`eme correspondant.
Probl`eme inverse: On se donne une temp´erature souhait´ee Tc dans la pi`ece S. On cherche les coefficientsαi de sorte queT(α) soit proche de Tc dans S.
Plus pr´ecis´ement, on cherche `a minimiser J(α) := 1
2 Z
S
|T(α)−Tc|2. (2) Montrer que par lin´earit´e, il existe 5 champs de temp´eratureTi,i= 0, . . . ,4 tels queT(α) =T0+P4
i=1αiTi.
Montrer que le calcul des coefficients optimauxαi peut se mettre sous la forme d’un syst`eme lin´eaire `a r´esoudre.
Calculer effectivement les coefficients αi pour Tc = 40oC et contrˆoler `a l’aide d’une simulation directe que votre solution est acceptable.
Dans tous les cas, on cherchera un maillage convenable en exp´erimentant avec l’adaptation de maillage de FreeFem++.
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