Mini-Projet de MAP 431, Ecole Polytechnique
sujet proposé par F. Nataf [email protected]
Optimisation du chauffage d’un four
On considère un four de forme rectangulaire, comportant des résistances. On se propose de chercher les valeurs à donner aux résistances de sorte que la température dans une partie du four soit proche d’une valeur fixée à l’avance.
On noteraΩl’ouvert représentant le four etSla pièce à chauffer. Le fourΩest un carré de 2m de côté.
L’origine est placée au centre du carré. La pièce S à chauffer est un rectangle de 1m sur 0.4m placée au centre du four. On noteraCi (i= 1, . . . ,4)les résistances modélisées comme des cercles de rayon 0.05m et placées aux points de coordonnées (±0.75m,±0.75m) (cf. Figure 1).
Le bord supérieur du four est supposé maintenu à une température fixe de50oC, le bord inférieur à une température fixe de10oC. Les deux bords latéraux sont isolés, le flux de chaleur y est nul. La température dans le four est régie par l’équation de la chaleur
−∇ ·(k∇T) =f. (1)
Dans cette équation, k est le coefficient de diffusion thermique qui est variable et vaut 1 dans la pièce à chauffer et 10 dans le reste du four, f est la source de chaleur et est de la forme f =
4
X
i=1
αi 1Ci, où les coefficients αi sont à déterminer et1C est la fonction caractéristique du domaineC.
Travail à réaliser
1 Problème direct
On suppose connus les coefficients(αi)i=1,...,4 et l’on cherche à calculer la température qui en résulte.
Question 1. Ecrire la formulation variationnelle correspondante. On noteraT(α)la solution du problème correspondant, oùα est le vecteur (αi)1≤i≤4.
Question 2. Ecrire le programme FreeFem++ correspondant, en prenant pour valeurs numériques
∀i= 1, . . . ,4, αi= 10. Calculer la température moyenneTmoy dans la pièce S.
2 Problème indirect
On se donne une température souhaitéeTC dans la pièceS. On cherche les coefficientsαi de sorte que T(α) soit proche deTC dansS. Plus précisément, on cherche à minimiser
J(α) := 1 2
Z
S
|T(α)−TC|2 . (2)
Question 3. Montrer que par linéarité, il existe cinq champs de températureTi, i= 0, . . . ,4, tels que T(α) =T0+
4
X
i=1
αi Ti.
Calculer les champs de température Ti (i= 0, . . . ,4)à l’aide de FreeFem++.
1
S x
y
Ω T = 50 o C
T = 10 o C
∂ T
∂ n = 0
∂ T
∂ n = 0
C 1
C 4 C 3
C 2
k = 10
k = 1
Figure 1 – FourΩet pièce à chauffer S
Question 4. Montrer que le calcul des coefficients optimauxαi peut se mettre sous la forme d’un système linéaire à résoudre : Aα=b, oùA est une matrice 4×4 etb un vecteur colonne. ExpliciterA etb.
Question 5. Calculer effectivement les coefficients αi pourTC = 40oC.
Question 6. Contrôler à l’aide d’une simulation directe sous FreeFem++ que votre solution est acceptable.
En particulier, calculer l’erreur relative entre la température moyenne obtenue et la température moyenne attendue. Dans tous les cas, on cherchera un maillage convenable en expérimentant avec l’adaptation de maillage de FreeFem++.
2
