D1939 SAGA ORTHOCENTRIQUE 3ème épisode D1.Géométrie plane : triangles et cercles
Problème proposé par Dominique Roux
On donne trois points A,B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.
Montrer que lorsque M se déplace dans le plan, le triangle A'B'C' a une aire constante
On sait, d'après les épisodes précédents, qu'il existe (en général ) une seule hyperbole équilatère passant par 4 points donnés A,B,C,M, et que si les coordonnées de A,B,M sont, dans un repère adapté, (u,1/u), (v,1/v),(m,1/m), les coordonnées de l'orthocentre C' du triangle ABM sont : [-1(uvm), - (uvm)] avec des expressions analogues pour les coordonnées des points A' et B'.
L'aire d'un triangle dont les coordonnées des sommets sont (x,y),(x',y'),(x'',y'') est la moitié de la valeur absolue du déterminant [(x,y,1),(x',y',1),(x'',y'',1)].
L'aire du triangle A'B'C' est donc ½ de valeur absolue du déterminant :
Δ = {[-1/(vwm),-(vwm),1],[-1/(uwm),-(uwm),1],[-1/(uvm),-(uvm),1]}, or on peut factoriser -1/m dans la première colonne , - m dans la deuxième colonne et simplifier.
Δ = {[1/(vw),(vw),1],[1/(uw),(uw),1],[1/(uv),(uv),1]} est indépendant de m. Cela signifie que si M se déplace en restant sur la même hyperbole équilatère, l'aire du triangle A'B'C' reste constante.
Mais lorsque M se déplace en restant sur la même hyperbole équilatère, et parvient en l'orthocentre du triangle ABC, les triangles ABC et A'B'C' sont confondus, donc l'aire constante de A'B'C' est égale à l'aire de ABC.
Quel que soit M dans le plan, les triangles ABC et A'B'C' ont même aire.
