• Aucun résultat trouvé

Enoncé D1918 (Diophante) La saga de l’angle de 60◦ (2ème épisode) Démontrer que dans tout triangle ABC

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Enoncé D1918 (Diophante) La saga de l’angle de 60◦ (2ème épisode) Démontrer que dans tout triangle ABC"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

Enoncé D1918 (Diophante)

La saga de l’angle de 60◦ (2ème épisode)

Démontrer que dans tout triangleABC, la médiatrice du segment qui joint l’orthocentre au centre du cercle circonscrit passe par l’un des trois sommets du triangle si et seulement si l’un des angles est égal à 60◦.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Supposons le sommet Asur la médiatrice du segment OH. Alors AH=OA=OB =OC.

L’homothétie de centre G et de rapport −1/2 transforme AH en A0O, A0 étant le milieu deBC, projection orthogonale de O.

Dans le cercle circonscrit, l’angle au centre BOCd est le double de l’angle BAC. Dans le triangle isocèled OBC, la hauteurOA0 =AH/2 =OB/2 est OBcos(BOC/2) =d OBcos(BAC). Ainsid BACd = arccos(1/2) = 60◦.

Réciproquement, si BACd = 60◦, cos(BACd ) = 1/2, OA0 = OB/2, AH = 2OA0 =OB =AO etA est sur la médiatrice du segmentOH.

1

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 47.95 KB )

Documents relatifs

Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle

La bissec- trice de l’angle 6 BAC coupe le côté BC au point A 1 et l’arc BC qui ne contient pas A au point M.. La droite perpendiculaire au côté AC passant par A 1 coupe l’arc

Enoncé D1834 (Diophante) La saga des dichotomies (6ème épisode) Soient un triangle

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que P Q partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Soient D, E, F les points de

Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE.. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que

Enoncé D1861 (Diophante) Dualité Soit ABC un triangle quelconque. Q

Cette conique circonscrite au triangle a les mêmes points à l’infini (caractérisés par x 2 = yz) que l’ellipse de Steiner ; c’est l’ellipse homothétique de l’ellipse de

Enoncé D1864 (Diophante) Trois parallèles Etant donné le triangle ABC, construire le triangle isocèle A

Les cinq droites sont

(1)Enoncé D1871 (Diophante) Si et seulement si Soit un triangle ABC et son cercle (Γ) circonscrit de centre O

Démontrer que la droite IG e coupe le cercle (Γ) au point A 0 diamétralement opposé à A dans (Γ) si et seulement si le triangle est rectangle en A ou isocèle de sommet A. Solution

On trace le cercle (Γ) de centre O circonscrit à un triangle ABC moyen en A

Je travaille en coordonnées barycentriques non normalisées de base A, B, C, c’est-à-dire les pondérations x, y, z caractérisant un point M du plan par la relation vectorielle x.AM

Enoncé D1884 (Diophante) Réflexions sur réflexions (2ème épisode) Dans un triangle ABC on trace les points A

Indice d’une perversité de l’auteur du problème, orientant le lecteur vers une caractérisation difficile de ce cas de