Les sommets du triangle correspondent alors (par exemple) aux points de la figure ci-contre

On considère le polygone régulier à 90 sommets sur le cercle unité du plan complexe. Les sommets du triangle correspondent alors (par exemple) aux points de la figure ci-contre.

Rappelons que, si (A, a) et (B, b) sont deux points du cercle unité, la droite AB a pour équation :

z + ab 𝑧 – (a + b) = 0 .

Donc si on pose ß = e ^iπ/45, les trois droites qui passent par les couples (ß ^p, ß ^p' ), (ß ^q, ß ^q' ) et (ß ^r, ß ^r' ) sont concourantes lorsque

1 𝛽^!!!! 𝛽^!+𝛽^!!

1 𝛽^!!!! 𝛽^!+𝛽^!!

1 𝛽^!!!! 𝛽^!+𝛽^!!

=0 , c'est-à-dire :

(1) (ß ^q+q'+r + ß ^q+q'+r' ) + (ß ^r+r'+p + ß ^r+r'+p' ) + (ß ^p+p'+q + ß ^p+p'+q' )

– (ß ^q+q'+p + ß ^q+q'+p' ) – (ß ^r+r'+q + ß ^r+r'+q' ) – (ß ^p+p'+r + ß ^p+p'+r' ) = 0 . Et nous devons envisager a priori tous les cas :

p = 0 et p' = 27 + l , q = 27 et q' = – 6m , r = 36 et r' = 3n ,

où l, m et n sont compris entre 1 et 8. La formule (1) s'écrit donc : (1') (ß ^{63 – 6m} + ß 27 – 6m + 3n

) + (ß ^{36 + 3n} + ß 63 + 3n + l

) + (ß ^{54 + l} + ß 27 + l – 6m

) – (ß ^{27 – 6m} + ß 54 – 6m + l

) – (ß ^{63 + 3n} + ß 36 + 3n – 6m

) – (ß ^{63 + l} + ß 27 + l + 3n

) = 0 . Considérons, par exemple, le point entouré situé le plus bas sur la figure ; il correspond (s'il existe) aux valeurs : (l, m, n) = (6, 3, 2) qui amènent à vérifier l'égalité : ß ⁴⁵ + ß ¹⁵ + ß ⁷⁵ + ß ⁵⁴ + ß ²⁴ + ß ⁸⁴ = 0 . On voit facilement que celle-ci est vraie, car la somme est invariante par multiplication par ß ³⁰ …

Les points multiples probables (cf. la figure) correspondent aux vérifications suivantes :

(l, m, n) Somme finale

(1, 4, 8) ß ³⁹ + ß ²⁷ + ß ⁶⁰ + ß ⁸⁸ + ß ⁵⁵ + ß ⁴ + ß ⁴⁸ + ß ⁷⁶ + ß ⁴² + ß ⁸¹ + ß ¹⁹ + ß ⁷ ≠ 0 (1, 2, 7) ß ⁵¹ + ß ³⁶ + ß ⁵⁷ + ß ⁸⁵ + ß ⁵⁵ + ß ¹⁶ + ß ⁶⁰ + ß ⁸⁸ + ß ³⁹ + 1 + ß ¹⁹ + ß ⁴ ≠ 0 (3, 6, 7) ß ²⁷ + ß ⁸⁷ + ß ⁵⁷ + ß ³⁶ + ß ⁶⁶ + ß ⁶ = 0 (invariance par multiplication par ß ³⁰)

(3, 3, 5) ß ²⁴ + ß ⁵¹ + ß ⁸¹ + ß ⁵⁴ + ß ⁸⁴ + ß ²¹ = 0 (invariance par multiplication par ß ³⁰)

(3, 2, 4) ß ⁵¹ + ß ²⁷ + ß ⁴⁸ + ß ⁷⁸ + ß ⁵⁷ + ß ¹⁸ + ß ⁶⁰ + 1 + ß ³⁰ + ß ⁸¹ + ß ²¹ + ß ⁸⁷ = 0 (Id)

(6, 7, 5) ß ²¹ + 1 + ß ⁵¹ + ß ⁸⁴ + ß ⁶⁰ + ß ⁸¹ + ß ³⁰ + ß ⁶³ + ß ³³ + ß ⁵⁴ + ß ²⁴ + ß ³ = 0 ^(Id) (6, 6, 4) ß ²⁷ + ß ⁶⁰ + ß ⁸⁷ + ß ³⁰ + ß ⁵⁷ + 1 = 0 (invariance par multiplication par ß ³⁰)

(6, 3, 2) ß ⁴⁵ + ß ¹⁵ + ß ⁷⁵ + ß ⁵⁴ + ß ²⁴ + ß ⁸⁴ = 0 (invariance par multiplication par ß ³⁰)

(8, 7, 2) ß ²¹ + ß ⁸¹ + ß ⁴² + ß ⁷⁷ + ß ⁶² + ß ⁸³ + ß ³⁰ + ß ⁶⁵ + ß ²⁴ + ß ⁴⁵ + ß ²⁶ + ß ⁸⁶ ≠ 0 On partage chacun des angles du triangle d'angles

(3π/5, 3π/10, π/10) en 9 angles égaux en traçant les 9-sectrices. Combien ces segments déterminent-ils de domaines polygonaux (non réduits à un point) à l'intérieur du triangle ?

l n

m

S'il n'existait pas de points triples, chaque 9-sectrice en couperait 16 autres à l'intérieur du triangle. On aurait alors : 16 ^× 24 / 2 = 192 points d'intersection intérieurs au triangle. Mais chaque point triple fait disparaître 2 points, et comme il y a exactement 6 points triples parmi les points d'intersection entre les 9-sectrices, il y a 180 points d'intersection (doubles ou triples) dans l'intérieur du triangle.

De même, s'il n'existait pas de points triples, chaque 9-sectrice serait partagée en 17 segments par les 16 qui la coupent et on aurait donc : 17 ^× 24 = 408 segments intérieurs au triangle. Mais chaque point triple fait disparaître 3 segments. Il y a donc 390 segments à l'intérieur du triangle.

Grâce à la formule d'Euler Poincaré, on sait que le "pavage" de l'intérieur du triangle est tel que le nombre S de points, le nombre A de segments et le nombre F de domaines polygonaux vérifient :

S – A + F = 1 .

On peut en conclure que le nombre cherché vaut : F = 1 – S + A = 1 – 180 + 390 = 211.