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D1909. Deux angles supplémentaires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1909. Deux angles supplémentaires

A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.

Soit (−, 0), (, 0) et (0, ) formant un triangle isocèle Soit (, ) un point intérieur au triangle ABC

= ( + , ) = (2, 0) = ( − , ) = (−, )

= ( + ).0 − 22( + ) + . 0 = − + = ( − ) + −( − ) + = ⇒ + +

= 1 +

Le point P est situé sur l'arc du cercle de centre

!0, −

"$#

%

et de rayon & = '

1 +

22

,

situé à l'intérieur du triangle. Ses coordonnées sont :

, −

"$#

+ '

!1 +

"$##

% −

et en posant ( = −

"$#

+ '

!1 +

"$##

% −

: (, ()

Soit ) le milieu de de coordonnées (0,0)

(2)

= (− − , −

(

) ) = (−,

− (

)

= ( − ,

− (

) = (−,

− (

) ) = (− − )(

−(

) − (−)(

−(

)

(− − )(−) + (

−(

) = (

2

+ (

2

+

= ( − )(

− (

) − (−)(

− (

)

( − )(−) + (

−(

)( − () = (( − ) + ( − ) + (( − ()

) + =

(

2

+ 2

2

( +

2

2

*é,-(.,/01

Et ce polynome en ( s

;

annule pour ( = −

+ √

@

+

= −

+ A

1 +

qui est bien la valeur posée pour m. Donc

) + = 0, et les angles )et sont supplémentaires.

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