D1909. Deux angles supplémentaires
A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.
Soit (−, 0), (, 0) et (0, ) formant un triangle isocèle Soit (, ) un point intérieur au triangle ABC
= ( + , ) = (2, 0) = ( − , ) = (−, )
= ( + ).0 − 22( + ) + . 0 = − + = ( − ) + −( − ) + = ⇒ + +
= 1 +
Le point P est situé sur l'arc du cercle de centre
!0, −
"$#%
et de rayon & = '1 +
22,
situé à l'intérieur du triangle. Ses coordonnées sont :, −
"$#+ '
!1 +
"$##% −
et en posant ( = −
"$#+ '
!1 +
"$##% −
: (, ()
Soit ) le milieu de de coordonnées (0,0)= (− − , −
(
) ) = (−,− (
)= ( − ,
− (
) = (−,− (
) ) = (− − )(−(
) − (−)(−(
)(− − )(−) + (
−(
) = ( 2+ (
2+
= ( − )(− (
) − (−)(− (
)( − )(−) + (
−(
)( − () = (( − ) + ( − ) + (( − ()) + =
(
2+ 2
2( +
2−
2*é,-(.,/01