A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.
Dans un triangle ABC isocèle en C, dont les angles sont A=B et C=π-2A, le centre du cercle inscrit I voit AB sous l’angle π-A, tandis que le point J diamétralement opposé à C sur le cercle circonscrit voit AB sous l’angle 2A : le cercle passant par A, I, et B est donc le cercle tangent à AC et BC en A et B, de centre J. C, I, M et J sont alignés, et AB est la polaire de C par rapport à ce cercle.
Puisque PAB=PBC, PAB+PBA=A, et APB=π-A : P appartient également à ce cercle de centre J : si CP recoupe ce cercle en Q, et si P’ et Q’ sont les symétriques de P et Q par rapport à l’axe CJ, PQ’ coupe CJ sur la polaire AB, donc en M.
Les arcs BQ et AQ’ sont égaux, et les angles BPQ et APM, et comme BPQ=π-BPC, APM+BPC=π.
