D168. Cercle inscrit dans triangle pythagoricien
Problème proposé par Dominique Roux (Q1) et par Pierre Jullien (Q2)
Enoncé :
Q1- En désignant par a,b,c les longueurs des côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse c et par d le diamètre de son cercle inscrit démontrer la relation a + b = c + d.
Q2- En déduire le nombre de triangles pythagoriciens dont le cercle inscrit a pour rayon 2010. Généraliser.
Solution proposée par Paul Voyer:
Q1
Un simple dessin montre la relation à démontrer.
c=(a-r)+(b-r)=a+b-d, somme des projections de IA et IB sur l'hypoténuse AB, I étant le centre du cercle inscrit.
Q2
(c-b) = a-d entier c²-b² = a² entier (c+b) =
d a
a
²
Pour que a, b, c soit pythagoricien, il faut et il suffit que b =
) ( 2
) 2 (
d a
d a d
soit entier.
Alors c sera également entier.
Le plus petit côté des triangles dont le cercle inscrit a pour rayon 2010 est compris entre 4021 et 6863 (2010 2 /tan( / 8 ).
Il suffit de compter avec un tableur les valeurs entières de a dans cet intervalle qui conduisent à des valeurs entières pour b et c.
Je trouve 54 triangles (voir tableau page suivante).
Généralisation :
Comme (a-d) doit diviser a², chacun de ses facteurs premiers divise aussi a, donc également d.
(a-d) n'a pas d'autres diviseurs que les facteurs premiers de d.
Cas de 2010 :
2010 = 2*3*5*67
a-d=c-b
Facteurs
premiers a b c
1 4021 8084220 8084221
2 2 4022 4044120 4044122
3 3 4023 2697420 2697423
4 2*2 4024 2024070 2024074
5 5 4025 1620060 1620065
6 2*3 4026 1350720 1350726
8 2*2*2 4028 1014045 1014053
9 3*3 4029 901820 901829
10 2*5 4030 812040 812050
12 2*2*3 4032 677370 677382
15 3*5 4035 542700 542715
18 2*3*3 4038 452920 452938
20 2*2*5 4040 408030 408050
24 2*2*2*3 4044 340695 340719
25 5*5 4045 327228 327253
30 2*3*5 4050 273360 273390
36 2*2*3*3 4056 228470 228506
40 2*2*2*5 4060 206025 206065
45 3*3*5 4065 183580 183625
50 2*5*5 4070 165624 165674
60 2*2*3*5 4080 138690 138750
67 67 4087 124620 124687
72 2*2*2*3*3 4092 116245 116317
75 3*5*5 4095 111756 111831
90 2*3*3*5 4110 93800 93890
100 2*2*5*5 4120 84822 84922
120 2*2*2*3*5 4140 71355 71475
134 2*67 4154 64320 64454
150 2*3*5*5 4170 57888 58038
180 2*2*3*3*5 4200 48910 49090
200 2*2*2*5*5 4220 44421 44621
201 3*67 4221 44220 44421
225 3*3*5*5 4245 39932 40157
268 2*2*67 4288 34170 34438
300 2*2*3*5*5 4320 30954 31254
335 5*67 4355 28140 28475
360 2*2*2*3*3*5 4380 26465 26825
402 2*3*67 4422 24120 24522
450 2*3*3*5*5 4470 21976 22426
536 2*2*2*67 4556 19095 19631
600 2*2*2*3*5*5 4620 17487 18087
603 3*67 4623 17420 18023
670 2*5*67 4690 16080 16750
804 2*2*67 4824 14070 14874
900 2*2*3*3*5*5 4920 12998 13898
1005 3*5*67 5025 12060 13065
1206 2*3*3*67 5226 10720 11926
1340 2*2*5*67 5360 10050 11390
1608 2*2*2*3*67 5628 9045 10653
1675 5*5*67 5695 8844 10519
1800 2*2*2*3*3*5*5 5820 8509 10309
2010 2*3*5*67 6030 8040 10050
2412 2*2*3*3*67 6432 7370 9782
2680 2*2*2*5*67 6700 7035 9715
