D1871. Si et seulement si
Problème proposé par Pierre Renfer
Soit un triangle ABC et son cercle (Γ) circonscrit de centre O. Le cercle inscrit de centre I touche AC en E et AB en F. Les droites BE et CF se coupent en Ge. Démontrer que la droite IGe coupe le cercle (Γ) au point A' diamétralement opposé à A dans ( Γ) si et seulement si le triangle est
rectangle en A ou isocèle de sommet A.
Coordonnées barycentriques : a,b,c sont les longueurs des côtés, p est le demi périmètre.
droite BE : (p-a)X = (p-c)Z droite CF : (p-a)X/( = (p-b)Y
Point Ge: [1/(p-a), 1/(p-b), 1/(p-c)] ou [1/(b+c-a), 1/(c+a-b), 1/(a+b-c)]
Point I:[a, b, c]
Equation de la droite IGe :
X(b-c)(a-b-c)² + Y(c-a)(b-c-a)² + Z(a-b)(c-a-b)² = 0 (trouvée en développant un déterminant ) Les coordonnées barycentriques de O peuvent s'écrire de différentes façons :
(sin2A, sin2B, sin2C) ; (a cosA, b cosB, c cosC) ; [a(b²+c² – b²)/(bc), b(c²+a² – b²)/(ca), c(a²+b² – c²/(ab)]
ou [a²(b²+c² – a²), b²(c²+a² – b²), c²(a²+b² – c²)].
Le point A' est le barycentre de O(2) et A(– 1) :
A' : 2.[a²(b²+c² – a²), b²(c²+a² – b²), c²(a²+b² – c²)] – [a²(b²+c² – a²)+b²(c²+a² – b²)+c²(a²+b² – c²), 0, 0]
A' : [(b² – c²)² – a4, 2b²(c²+a² – b²), 2c²(a²+b² – c²)]
Le point A' est sur la droite IGe si et seulement si
((b² – c²)² – a4)(b-c)(a-b-c)² + 2b²(c²+a² – b²)(c-a)(b-c-a)² + 2c²(a²+b² – c²)(a-b)(c-a-b)² = 0.
Cette expression homogène de degré 7 se factorise comme suit : (c – b)(a –b+c)(a+b – c)(a+b+c)(a–b–c)(a²–b²–c²) = 0
Si ABC est un vrai triangle, (a –b+c)(a+b – c)(a+b+c)(a–b–c) n'est pas nul.
Le point A' est sur la droite IGe si et seulement si
c = b : le triangle est isocèle de sommet A, ou si a² = b² + c² : le triangle est rectangle de sommet A.
