D 1944 Problème proposé par Dominique Roux
Soient ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit, et Γ un cercle rayon ρ variable et de centre O.On désigne par A’B’C’ le triangle tangentiel de ABC dont les côtés sont les tangentes en A,B et C au cercle circonscrit à (ABC).Soient X,Y et Z les pôles respectifs des droites (B’C’),(C’A’) et (A’B’) par rapport au cercle Γ.
Q Démontrer que les droites (A’X), (B’Y) et (C’Y) sont concourantes en un même point M ₁
Q Démontrer que lorsque ρ varie le point M décrit une conique Co passant par les points A’,B’et C’. ₂
Q1. Pour Q1 et pour Q2, implicitement le triangle ABC est scalène.
Notations : je suppose que les équations du cercle (ABC) et des droites (B'C'), (C'A'), (A'B') sont : x²+y²=1 , x cos α + y sin α -1 =0 , x cos β + y sin β -1 =0 , x cos γ + y sin γ -1 =0 .
On a OX=OY=OZ=ρ² . ( le cercle Γ n'est pas représenté sur la figure ci dessus ).
Le point X a pour coordonnées (ρ² cos α, ρ² sin α)
La droite A'X appartient au faisceau des droites (A'C'), (A'B'), son équation est de la forme λ(x cos β + y sin β -1 ) + μ( x cos γ + y sin γ -1 ) = 0 avec λ et μ tels que
λ(ρ² cos α cos β + ρ² sin α sin β -1 ) + μ( ρ² cos α cos γ + ρ² sin α sin γ -1 ) = 0 , On peut choisir λ = 1- ρ² cos (α-γ) et μ = ρ² cos (α – β) – 1.
Équation de A'X :[1- ρ² cos (α-γ)](x cos β + y sin β -1 ) + [ ρ² cos (α-β)-1](x cos γ + y sin γ -1)= 0 De même : Équation de B'Y :[1- ρ² cos (β-α)](x cos γ + y sin γ -1 ) + [ ρ² cos (β - γ)-1](x cos α + y sin α -1)= 0
Équation de C'Z :[1- ρ² cos (γ -β)](x cos α+ y sin α -1 ) + [ ρ² cos (γ - α)-1](x cos β + y sin β -1)= 0 L'ajout membre à membre des 3 équations donne 0=0, donc les droites (A’X), (B’Y) et (C’Y) sont concourantes.
Q2. De façon générale on sait que si deux droites B'Y et C'Z varient en passant chacune par un point fixe (ici B' et C' ) en déterminant des divisions égales sur deux autres droites fixes ( ici OB et OC) alors leur point
d'intersection décrit une conique Co passant par les deux points fixes (B' et C' ).
Ici Co passe par les 3 points fixes A', B', C'.
Avec ρ² ≥ 0, les points X,Y,Z décrivent les demi droites OA, OB, OC , et dans ces conditions le point M ne décrit qu'une partie de la conique Co.
Dorénavant on suppose que les mesures algébriques de OX, OY, OZ relativement aux vecteurs unitaires OA, OB, OC sont égales à un réel t de signe quelconque : Quand t varie de -∞ à +∞, M décrit Co en entier. Le cercle Γ n'est pas nécessairement réel puisqu'on tolère ρ² <0.
Etude analytique origine en A, le cercle (ABC) a son centre en (0,1), B' et C' ont pour coordonnées (m,0) et (n,0).
Les vecteurs unitaires OB et OC ont pour coordonnées (
2n n² +1
,n² −1 n² +1
) et (2m m² +1
,m² −1
m² +1
) .. / ..On pose OY = t.OB et OZ = t.OC, coordonnées de Y : (
2tn
n² +1
, 1 +t( n² −1) n² +1
) Le vecteur B'Y : (2tn
n² +1
- m, 1 +t ( n² −1)
n² + 1
) est colinéaire à [ 2tn-m(n²+1), n²+1+t(n²-1) ].Equation de la droite B'Y : y[2tn-m(n²+1)] – (x-m) [ n²+1+t(n²-1)]= 0 et, par échange de m et n : Equation de la droite C'Z : y[2tm-n(m²+1)] – (x-n)[ m²+1+t(m²-1)] = 0
L'équation de la conique s'obtient en éliminant le paramètre t entre ces deux équations : det |2yn-(x-m)(n²-1) (n²+1)(my+x-m)|
|2ym-(x-n)(m²-1) (m²+1)(ny+x-n) | = 0 Après division par 2(m²-n²),
x²- y² + xy
