D 197 Des lieux peu communs (septième épisode)

D 197 Des lieux peu communs (septième épisode)

Solution proposée par Pierre Renfer

On choisit la moité de la longueur AC comme unité de longueur.

On choisit le repère cartésien orthonormé tel que les points A, B, C aient pour coordonnées :

0 1 A 

0 1 C

y x B

Le centre du cercle (BAD) est le milieu C’ de [AB].

Le centre du cercle (BCD) est le milieu A’ de [CB].

Les coordonnées de A’ et C’ sont :

2 / y

2 / ) 1 x ( '

A 

y/2

2 / ) 1 x ( '

C 

Il faut exclure la valeur y 0 pour laquelle le triangle ABC est aplati.

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Il faut exclure la valeur x1 pour laquelle O coïncide avec C’.

Il faut exclure la valeur x1 pour laquelle O coïncide avec A.’

1) Coordonnées du centre O du cercle (ABC)

Le centre O du cercle (ABC) appartient à la médiatrice de [AC]. Donc son abscisse est nulle.

On obtient son ordonnée v en écrivant : OB² OA² x²(yv)² 1v²

On en déduit :

y 2

1 y v x²  ²



2) Conclusion

Le cercle (OA’C’) a une équation en X, Y de la forme : X² Y² aXbYc 0 En écrivant que les cordonnées de A’, C’, O vérifient cette équation on obtient le système :

















 

 

 









 





 







 





 

0 y c

2 2 y b x

y 4

1) y

(x

0 2 c

b y 2

1 a x 4 y 4

1) (x

0 2 c

b y 2

1 a x 4 y 4

1) (x

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

(S)

La somme et la différence des deux premières équation du système (S) permettent d’obtenir : x

a

1 y x by 2 c

4   ² ² (1)

Et la dernière ligne du système (S) donne : 4y²c2by(x² y² 1)(x² y² 1)² (2) Les équation (1) et (2) permettent de calculet c et b, mais seul c sera nécessaire.

On trouve

2 1 y x )

1 x ( 2

1 y x 2 y x

c x^{4 2 2} ₂ ^{2 2}  ²  ² 









  (3)

Pour que le cercle (A’C’) soit tangente à (AC), il faut et il suffit qu’en remplaçant Y par 0 dans l’équation du cercle, on obtiennet un polynôme du second degré en X, de discriminant nul.

Ceci signifie que : 4 c x²

En égalant cette valeur c avec celle fournie par (3), on obtient la condition : y 1 2

x2 2





Le lieu des point B est donc l’ellipse définie par cette équation, privée des points d’ordonnée 0 et des points d’abscisses 1 ou -1.

Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 et le petit axe est égal à 1.

Donc la distance focale est égale à 1 et les points A et C sont les foyers.