Enoncé D145 (Diophante)
Une rencontre du côté de chez Euler
Soit un triangle ABC ayant pour cercle circonscrit (Γ) et pour cercle d’Euler (γ). Du sommet C, on mène les tangentes au cercle (γ), qui le touchent en X etY.
Démontrer que les droitesAB,XY et la tangente enC au cercle (Γ) sont concourantes en un point Z.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note les longueurs des côtés a=BC, b=CA, c=AB.
La droiteXY est l’axe radical du cercle (γ) et du cercle (C) de centreC, de rayonCX =CY, racine carrée de la puissance deC par rapport à (γ).
La sécante CB, coupant (γ) au milieu de CB et au pied de la hauteur abaissée de A, conduit à la puissance (a/2)bcosC = (a2+b2−c2)/4.
Soit Z l’intersection de AB et de la tangente enC à (Γ). Je vais montrer que Z a même puissance par rapport à (C) et (γ).
Je travaille en coordonnées barycentriques.
Tangente à (Γ) en C : c’est l’axe radical de (Γ), d’équation a2yz+b2zx+c2xy = 0
et du cercle-point d’équation
CM2 =b2x2+a2y2+xy(a2+b2−c2) = 0.
Cette tangente a pour équation b2x+a2y = 0, d’où les coordonnées de Z(a2,−b2,0) (non normalisées : somme a2−b2 6= 1).
La distanceCZ a pour carré (b2a4+a2b4−a2b2(a2+b2−c2))/(a2−b2)2 = a2b2c2/(a2−b2)2 d’où la puissance deZ par rapport à (C)
CZ2−CX2 =a2b2c2/(a2−b2)2−(a2+b2−c2)/4.
Cercle d’Euler : l’homothétie de centre Get de rapport−2 le transforme en (Γ) ; le point M(x, y, z) de (γ) devient par cette homothétie
M0(y+z−x, z+x−y, x+y−z) qui appartient à (Γ), d’où l’équation
−a2(z+x−y)(x+y−z)−b2(x+y−z)(y+z−x)−c2(y+z−x)(z+x−y) = 0.
Réarrangeant et divisant par 4, elle se met sous la forme canonique 0 =−a2yz−b2zx−c2xy+
+ (x+y+z)x(b2+c2−a2) +y(c2+a2−b2) +z(a2+b2−c2)
4 ,
le second membre exprimant la puissance par rapport au cercle, en coor- données normalisées.
Substituant les coordonnées de Z, sa puissance par rapport à (γ) est a2b2c2/(a2−b2)2−(a2+b2−c2)/4.
D’où l’égalité des puissances qui prouve la propriété de l’énoncé.
De façon équivalente, mais plus géométrique :
Soit (C) le cercle-point d’équation CM = 0 et (λ) le symétrique de (Γ) par rapport àAB.
La tangente enC à (Γ) est l’axe radical de (C) et (Γ).
L’axe radical de (Γ) et (λ), qui se coupent en A etB, est la droiteAB.
Le cercle (λ) est le transformé de (γ) (qui passe par les milieus deCA et CB et a R/2 pour rayon) par l’homothétie de centre C et de rapport 2.
L’axe radical de (C) et (λ) passe par les milieux des tangentes communes (qui touchent (C) enC) ; les tangentes menées de C à (λ) sont les demi- droites CX etCY, et ont X etY pour milieux. Cet axe radical est donc la droiteXY.
Ces trois axes concourent au centre radicalZ des trois cercles.
