:5 : : AB a.

Leçon

29

Aire d'un triangle

Activités

Activité I

a.

^{Compléter les}

pointillés.

L'aire

du triangle

rectangle

ABC

ci-contre

est ^: I

tABxBC =K K

b.

Sur la figure

ci-contre CH:KK

L'aire

du triangle

rectangle ABC est:

)

I

^ABxCH :K _K

z

Activité

2

D'après les figures ci-dessous, compléter les

pointillés.

l. B

A

AHB

CH =KK"sin2.-

L'aire

du triangle rectangle

H

Le cours

Aired'un

triangle.

Pour tout

triangle ABC

tal que :,8C

:

a

,

^AC

=b ^et

^AB

:

c .

Son aire se

note

S

6trgç

^:

I ^ 1 ^'l

S

L,qBC

⁼

!

bcstn A = !- ac sin _{B =}

: _abstnC

Exemple

l: ABC

est un triangle

tel

que

: b=4F

c

:5 et

À=30". Calculer

I'aire

de ce triangle.

Solution:

On

a:

S

6trgç

^=:bcsrn,

t^

^{A .}

AB

I

ABC

est

*AB*CH

₂I

=KK

Mathématique

C4-133

S

nZnC :!r4"5xsin 30o= l0x1=

5

Exemple

2 : ABC

est un

triangle

æl que:

triangle.

_. ^{a =}

4F

b

:5

et c = ^{6 .} Calculer

I'aire

de ce

Solution:

- Le théorème decosinus permet d'écrire :

o2 =b2 *r2 -2b"*")

. i

^b2

^*"2 -o2

^{s2 +a2}

^-q2

o-ou

cos

^= ,b" :

21516

- D'après

la formule sn2

e

+

cn"2 0

=l

, on a :

Donc

^S _d,,qBC

:bcstn À: ¹

"5t6x {- =E{- 244

Exemple

3: ABC estuntriangletelque: a=2$. À=t0",ô=20" et 16ld'aire.Calculer c.

Solution ^:

on

a

: À+ n +Ô :180' _donc â:180" -(A*ô): t80"-30' _=150"

S onac

=lorrin ^a

2

A

=

IrpQ _{(r) ri.,}

I 50o / sin l50o

:

sin(t

so' - 30')= .in 30' :

r-

i

J3 2J3

^r=

u = --- = ----F= = \r ^Û

Ji"! ^Jz

2

Exemple

4

: Dans le figure ci-dessous,

ABCD

est un quadrilatère de

AB :6,

BC

=10,

CD

:5 et

B -- Ô

=

^60"

. BD

et

CD

sont parallèles- Calculer son aire

Solution:

D'après la figure, on a

: S1sçp :

SMBD+ Saaco

. On

calcule

S*oo Dans le

triangle ABD,

_45 _3

604

Matlrématique C4-1

ABD : ABC -

^{DBC = 60o}

-30 :

30o

AH =6xsin30'=6x1:3

2

BDC

esL rectangle en

D:

BD = ^rllo2

In

-s2

⁼

5.6

Donc S*"o .?2 =!x ^BDx AH: 1"5J1t3:

. On

calcule S-r.

- I | -c - ^zsJt

Soaoc

:

rx

^{BD xCD =}

^{- x 5J3 "}

⁵

: -.t

On a

donc

^:

S,qBCD: SMBD+S/g,Co

^

^l

^{sJt 2s{1=2oJi}

JteBD:

2 *-

15.,6

Math&natique

C4-135

Exercices

l. ABC

est un triangle rectangle en

A tel

que

a:ll, b=7 et c=6. ^Calculer

^{cos.B et}

I'aire

de ce triangle.

2. ABC

^est un triangle rectangle en A

tel

qùe a

:'.llp

"

⁼

J6

^et

Jt ^d'aire.

^{Calculer ô et}

la mesure de I'angle

ô

^.

Calculer *r I

et

l'aire

de ce triangle.

3. ^ABCD estuntrapèzedebases AD

et

BC telque AB=5, BC:6, AD:2

^et

ABC :60'.

Calcul.r

l'ui..

de ce trapèzè.

4. ^{ABCD est un} quadrilatère tel que AB:2, ^{BC=..6 +f} , ^{CD=JI, 8:60"}

^et

C

=75".

Calculer

son aire.

5. ^Calculer

I'aire d'un dodécagone inscrit dans un cercle de rayon

l.

6. Calculer l'aire

d'un quadrilatère

ABCD inscrit

dans un cercle tel

que AB

₌

4F

BC

:5

_,

CD:7 et AD=10.

7. ABC

est un triangle

inscrit

dans un cercle de

rayon

R . Montrer que

l'aire

de ce

triangle

est calculée par la formule :

abc

_^

_^,

a. ù = ^b. S=2R2sin2sinBsinô.

4R

8. ABC

est un triangle

circonscrit

à un cercle de

rayon r.

Monher que

I'aire

de ce

triangle

est calculée par la formule ^:

1

,S =

i _)\ ^r(a+b+c)

Mathématique

C4-136