D296. La saga des parallélogrammes (2ème épisode)
On considère un triangle ABC non isocèle dans lequel les points O,I et Ω désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et le centre du cercle d'Euler.
On trace les milieux A1,B1 et C1 des arcs BC,CA et AB qui ne contiennent pas les sommets A,B et C du triangle puis les symétriques A2,B2 et C2 de ces points par rapport aux côtés BC,CA et AB. Soit F le centre du cercle circonscrit au triangle A B C .₂ ₂ ₂
Soit D le point de contact du cercle exinscrit du secteur angulaire BAC avec le côté BC. La droite AD coupe la parallèle menée de O à la droite IΩ au point K
Démontrer que les points O,I,K et F forment un parallélogramme.
Le problème D295 de février 2017 a montré que OIHF est un parallélogramme dont le centre Ω est le centre du cercle d'Euler et que H est sur le cercle (F) de centre F circonscrit au triangle A B C .₂ ₂ ₂
La parallèle menée de O à la droite IΩ est aussi l'image de la droite IF par l'homothétie de centre H et rapport 2.
Définissons K comme sommet du parallélogramme OIFK et montrons qu'il est sur la droite AD : Les longueurs des côtés dutriangle ABC sont notées a , b, c, et p est le demi périmètre.
Vectoriellement OK = OH – 2OI = OA + OB + OC – 2OI d'où AK = AB + AC – 2AI
AK = AB + AC – 2
(b.AB+ c.AC )
(a+b+ c)
= [(a–b+c)AB + (a+b–c)AC] / (a+b+c)D, point de contact du cercle exinscrit dans  vérifie : longueur BD = p – c = 1/2(a + b – c)
Vectoriellement AD = AB + 1/2(a + b – c)
