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Dans le cercleABC A0: (BC,B A)≡(A0C, A0A) [π]

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Academic year: 2022

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(1)

D1903. Echange de politesse

Dans un triangle ABC dontO est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteurA H issue du sommetA. Le cercle de diamètreA Hcoupe respectivementABetACen deux points DetEautres queA.

Démontrer que le pointOest situé sur la hauteur issue deAdans le triangleADE.

Solution de Claude Felloneau

b

O

b

A

b

B

b C

b

H

bD

b E

b

A0

On utilise des angles de droites.

– SoitA0le symétrique de A par rapport àO.

Dans le cercleABC A0: (BC,B A)≡(A0C, A0A) [π].

Or les trianglesAB HetA A0Cétant rectangles enHetCrespectivement, donc : (AB, A H)≡(A A0, AC)≡(AO, AC) [π].

– Dans le cercleA H DE: (A H,D H)≡(E A,E D)≡(AC,DE) [π].

– Comme (AO, DE)≡(AO, AC)+(AC,DE) [π], on a

(AO,DE)≡(AB, A H)+(A H,D H)≡(AB,D H) [π].

Les droitesABetD Hétant orthogonales, il en de même des droitesAOetDE. Oest donc sur la hauteur du triangleADEissue deA.

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