Si AB touche le cercle inscrit en T, DE =2.AT = b+c – a donc a = b+c – 202 = 987+1234 – 202 = 2019. E

(1)

D1870. Bon ménage

Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.

E₁ Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?

Si AB touche le cercle inscrit en T, DE =2.AT = b+c – a donc a = b+c – 202 = 987+1234 – 202 = 2019.

E₂Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?

Les 3 angles AMD, DMC, et MDC sont égaux, MCD est isocèle, MC = CD = 2.BC, sin BMC = CB/CM 1/2, BMC = 30° et AMD = (180° - MCB)/2, AMD = 75°.

E₃ Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?

Les angles ABK et CBL sont égaux, les triangles rectangles KAB et LCB sont semblables, BL/BC = BK/BA Les triangles rectangles ABC et KBL sont semblables, / BAF = / BKF, donc FKAB sont cocycliques, BAK = 90° , BFK = 90°, BF = √(BK² – FK²) = √(13² – 12²) = 5

E₄ Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC est tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?

Les diamètres de ces cercles sont au moins égaux aux cordes AB et AC. Le point P qui rend minimum la somme des aires des deux cercles est le pied de la hauteur issue de A. Soit BP = x.

AB² – x² = AP² = AC² – (14 – x)² 15² – 13² = 28x – 14², 28*2 = 28x – 28*7, 2 = x – 7, BP = 9

E₅ Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?

D et E sont les pieds des hauteurs. E est milieu de AB donc ACB est isocèle et AC = BC = 10.

DA/18 = DC/7 = AC/(18+7) = 10/25 = 2/5, DC = 14/5 et DA = 36/5, BD = √(BC² – DC²) = √(100 – (14/5)²) BD = 1/5√(50² – 14²) = √(36*64)/5 = 6*8/5 = 48/5

Avec la base AC = 10 et la hauteur BD = 48/5 on obtient la surface du triangle ABC = 48

E₆ On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?

(2)

Les angles BPQ et QPC valent 60°. En coordonnées polaires avec l'origine en P et l'axe Px suivant PQ, la droite CQP a pour équation 1/ρ = a cos θ + b sin θ

2/4038 = a + b√3, 1/673 =a, 2/BP = a – b√3 = 2/673 – 2/4038 = 5/2019, BP = 2048/5 = 807,6

E₇ Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E.

Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?

ACB + CBA = 90° = 2(ECB + DBC)

ECB = ECN = EAN angles inscrits qui interceptent le même arc EN dans le cercle de diamètre CE ECB = BAN

DBC = DBM = DAM angles inscrits qui interceptent le même arc DM dans le cercle de diamètre BD DBC = CAM

BAN + CAM = 45°

MAN = BAC – (BAN+MAC) = 90°– 45°

MAN = 45°