Enoncé D1909 (Diophante) Deux angles supplémentaires
A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle P AB est égal à l’angleP BC.M étant le milieu de AB, prouver que les angles AP M et BP C sont supplé- mentaires.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En B l’angle ABP = ABC −P BC, donc dans le triangle P AB l’angle AP B =π−ABC, indépendant de P.
Cela place P sur l’arc capable de baseAB, qui est un cercle tangent en A etB àCA etCB; soitIJ son diamètre passant par C.
Ce cercle est aussi le lieu des points P tels que P M/P C = BM/BC (=
IM/IC =J M/J C), et dans le triangle CP M les bissectrices de l’angle P ontI etJ comme traces surCM.
D’autre partI etJ sont les milieux des arcsABdu cercle, et les bissectrices de l’angleAP B sont aussiP I etP J.
Si P Q est le prolongement de CP, les angles AP B et M P Q ont la même bissectrice intérieure, d’où l’égalité des angles AP M et QP B, qui est le supplémentaire de l’angleCP B, CQFD.
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