1 Angles inscrits dans un cercle, angle au centre

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Universit´ e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ ee universitaire 2013-2014 SEN 0505 - Licence 3

Chapitre 5 : Les polygones r´ eguliers

1 Angles inscrits dans un cercle, angle au centre

D´ efinition 1 Etant donn´ e un cercle de centre O, on appelle angle inscrit dans ce cercle tout angle BAC [ dont le sommet A et les points B, C sont des points de ce cercle, et dont les cˆ ot´ es [AB]

et [AC] sont deux cordes de ce cercle.

Tout angle inscrit BAC [ intercepte un arc de cercle, l’arc reliant B ` a C et ne contenant pas le point A.

On appelle angle au centre associ´ e ` a un angle inscrit BAC, l’angle [ \ BOC interceptant le mˆ eme arc de cercle.

Proposition 2 La mesure d’un angle inscrit BAC [ dans un cercle est la moiti´ e de la mesure de l’angle au centre \ BOC associ´ e.

2 D´ efinitions et g´ en´ eralit´ es

D´ efinition 3 Un polygone r´ egulier est un polygone convexe ou non convexe (auquel cas il est dit ´ etoil´ e), dont les angles (int´ erieurs) ont mˆ eme mesure et dont les cˆ ot´ es ont mˆ eme longueur.

Ainsi un triangle ´ equilat´ eral, un carr´ e sont des polygones r´ eguliers ; un rectangle, un losange ne sont des polygones r´ eguliers que lorsque ce sont des carr´ es.

Th´ eor` eme 4 Tout polygone r´ egulier admet un cercle circonscrit, c’est-` a-dire un cercle passant par chaque sommet ; il admet aussi un cercle inscrit, c’est-` a-dire un cercle tangent int´ erieurement

`

a chaque cˆ ot´ e du polygone r´ egulier. Ces deux cercles ont mˆ eme centre, appel´ e centre du polygone r´ egulier.

On dit que tout polygone r´ egulier est inscrit dans son cercle circonscrit.

D´ efinition 5 On appelle apoth` eme d’un polygone r´ egulier la distance du centre ` a l’un des cˆ ot´ es ; l’apoth` eme mesure donc le rayon du cercle inscrit dans le polygone, ´ egalement appel´ e apoth` eme. Etant donn´ e un cˆ ot´ e [AB] d’un polygone r´ egulier, l’angle AOB [ est appel´ e angle au centre de ce polygone.

Proposition 6 Etant donn´ e un polygone convexe ayant n cˆ ot´ es, une mesure d’un angle au centre est 2π

n rad ou 360 n

◦

.

3 Polygones r´ eguliers et isom´ etries

Proposition 7 – Si une isom´ etrie conserve globalement un polygone r´ egulier, c’est n´ ecessairement une r´ eflexion ou une rotation.

– Il existe 2n isom´ etries qui conservent globalement un polygone r´ egulier ayant n cˆ ot´ es.

– Un polygone r´ egulier ayant n cˆ ot´ es admet un centre de sym´ etrie si n est pair ; si n est impair,

il n’a pas de centre de sym´ etrie.

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4 Inscription d’un polygone r´ egulier dans un cercle donn´ e

Le probl` eme est le suivant : comment inscrire un polygone r´ egulier poss´ edant n cˆ ot´ es, convexe ou non, dans un cercle C de rayon R donn´ e, ` a l’aide d’une r` egle et d’un compas ?

Ce probl` eme n’a pas toujours de solution ; si la r´ eponse est simple pour n = 3, 4, 6, 8, 12 ou 16 elle est plus d´ elicate pour n = 5, 10, 15, 17 . . ., voir impossible pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 . . . selon des r´ esultats ´ enonc´ es par Gauss puis Wantzel.

Notations. n ´ etant le nombre de cˆ ot´ es du polygone, on notera c

n

et a

n

(resp c

⁰_n

et a

⁰_n

) la mesure du cˆ ot´ e et de l’apoth` eme du polygone r´ egulier convexe (resp. ´ etoil´ e).

Il est ` a noter qu’un polygone convexe n’admet pas n´ ecessairement de polygone ´ etoil´ e associ´ e, ou peut en admettre plusieurs.

On d´ esigne par O le centre du cercle C de rayon R ; les constructions ci-dessous sont class´ ees par ordre de difficult´ e croissante, et reposent sur l’examen des angles au centre des polygones r´ eguliers

´ etudi´ es.

1. Le carr´ e (n = 4).

L’angle au centre mesure 90

^◦

, il suffit donc tracer deux diam` etres perpendiculaires. L’angle (int´ erieur) d’un carr´ e mesure 90

^◦

, et c

₄

= R √

2, a

₄

= R

√ 2 2 . 2. L’octogone r´ egulier convexe (n = 8).

Puisque l’angle au centre mesure 45

^◦

, les bissectrices des diam` etres pr´ ec´ edents et ces diam` etres fournissent les huit sommets recherch´ es. L’angle d’un octogone r´ egulier convexe mesure 135

^◦

et c

8

= R p

2 − √

2, a

8

= R

p 2 + √ 2

2 .

3. L’octogone r´ egulier ´ etoil´ e (n = 8).

Les huit sommets de l’octogone pr´ ec´ edent reli´ es de deux en deux, redonnent un carr´ e inscrit dans C ; reli´ es de trois en trois (ou de cinq en cinq) on obtient un octogone r´ egulier ´ etoil´ e.

L’angle d’un octogone r´ egulier ´ etoil´ e mesure 45

^◦

et c

⁰₈

= R p 2 + √

2, a

⁰₈

= R

p 2 − √ 2

2 .

4. L’hexagone r´ egulier (n = 6).

Les angles au centre mesurent 60

^◦

et de ce fait si A et B sont deux sommets cons´ ecutifs, le triangle OAB est ´ equilat´ eral. Chaque cˆ ot´ e a pour longueur R, et la construction des six sommets consiste ` a reporter 6 fois R. L’angle d’un hexagone r´ egulier convexe mesure 120

^◦

, et c

₆

= R, a

₆

= R

√ 3 2 .

5. Le triangle ´ equilat´ eral (n = 3).

L’angle au centre d’un triangle ´ equilat´ eral mesure 120

^◦

; les sommets pr´ ec´ edents, reli´ es de deux en deux, permettent donc d’inscrire un triangle ´ equilat´ eral dans le cercle. L’angle d’un triangle

´ equilat´ eral est de 60

^◦

, c

₃

= R √

3, a

₃

= R 2 . 6. Le d´ ecagone r´ egulier convexe (n = 10).

Il admet une construction assez simple :

(a) Supposons avoir inscrit un d´ ecagone r´ egulier convexe dans le cercle C, c’est-` a-dire avoir mesur´ e un angle au centre de 36

^◦

. Alors le cˆ ot´ e du d´ ecagone r´ egulier convexe mesure

c

₁₀

= R −1 + √ 5

2 .

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(b) Soit [AB] un diam` etre du cercle C et [OC ] un rayon de ce cercle, perpendiculaire ` a (AB).

Soit I le centre du cercle de diam` etre [OC] ; la droite (AI ) coupe ce cercle en D et E, D

´ etant entre A et E. On peut calculer AD qui est ´ egal ` a c

10

. Par ailleurs, on obtient a

₁₀

= R

p 10 + 2 √ 5

4 , et l’angle d’un d´ ecagone r´ egulier convexe mesure 144

^◦

.

7. Le d´ ecagone r´ egulier ´ etoil´ e (n = 10).

En reliant les sommets du d´ ecagone r´ egulier convexe de trois en trois, on obtient un d´ ecagone r´ egulier ´ etoil´ e. L’angle d’un d´ ecagone r´ egulier ´ etoil´ e mesure 72

^◦

, et c

⁰₁₀

= R 1 + √

5 2 , a

⁰₁₀

= R

p 10 − 2 √ 5

4 .

8. Le pentagone r´ egulier convexe (n = 5).

Les cinq sommets d’un pentagone r´ egulier convexe peuvent ˆ etre obtenus en reliant de deux en deux les sommets du d´ ecagone r´ egulier convexe. L’angle d’un pentagone r´ egulier convexe mesure 108

^◦

, et c

₅

= R

p 10 − 2 √ 5

2 , a

₅

= R 1 + √ 5 4 . 9. Le pentagone r´ egulier ´ etoil´ e (n = 5).

Les cinq sommets pr´ ec´ edents reli´ es de deux en deux (ou de trois en trois), permettent de repr´ esenter un pentagone r´ egulier ´ etoil´ e. Son angle mesure 36

^◦

, et c

⁰₅

= R

p 10 + 2 √ 5 2 , a

⁰₅