D238. A la recherche du polygone r´egulier
Quatre points A, B, C et D sont situ´es dans cet ordre sur la circonf´erence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont ´egales entre elles et l’on a la relation
1 AB = 1
AC+ 1 AD.
Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone r´egulier dont on d´eterminera le plus petit nombre possible de cˆot´es.
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Solution de Claude Felloneau
A, B, C, D sont les sommets d’un heptagone r´egulier
On choisit le rayon du cercle pour unit´e de longueur et on se place dans un rep`ere orthonormal direct du plan tel que A a pour affixe 1 et B a pour affixe eiα avecα∈]0, π].
L’ordre des points A, B, C et D et les ´egalit´es entre les cordes impliquent que α∈
] 0,2π
3 [
et les affixes de C et D sont respectivemente2iα,e3iα. Comme 1
AB = 1 AC+ 1
AD, on a successivement:
1
|eiα−1| = 1
|e2iα−1|+ 1
|e3iα−1|
1 = 1
|eiα+ 1|+ 1
|e2iα+eiα+ 1|.
1 = 1
|eiα2 +e−iα2| + 1
|eiα+e−iα+ 1|
1 = 1
2 cos (α/2)+ 1 1 + 2 cosα. En posantt= α
2, on obtient :
1 + 2 cos(2t) = 4 cos(2t) cost.
1 = 2 cos(3t) + 2 cost−2 cos(2t)
sint= 2 cos(3t) sint+ 2 costsint−2 cos(2t) sint sint= sin(4t)−sin(2t) + sin(2t)−sin(3t) + sint
sin(4t) = sin(3t).
4t≡3t[2π] ou 4t≡π−3t[2π]
t≡0[2π] out≡ π 7
[2π 7
]
Or t∈] 0,π
3 [
, donct=π
7 etα= 2π 7 .
A, B, C, D sont donc des sommets d’un heptagone r´egulier.
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