Enonc´e noA329 (Diophante) Ind´ependants et solidaires
Deux entiers naturels sont consid´er´es comme ind´ependants s’ils sont rela- tivement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est ´egal `a 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont consid´er´es comme solidaires si la moyenne arithm´etique des ´el´ements de n’importe quel sous-ensemble de E est elle- mˆeme un nombre entier. D´emontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble denentiers tous ind´ependants deux `a deux et en mˆeme temps tous solidaires.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit l’ensembleE desnentiers (n!)k+ 1 pour k= 1 `a n.
Ils sont ind´ependants : un diviseur commun `a (n!)a+ 1 et (n!)b+ 1 diviserait la diff´erence (n!)(b−a) qui n’a que des diviseurs premiers≤n. Or les entiers de E ont 1 pour reste dans la division par tout entier ≤n, et ils n’ont que des diviseurs premiers > n.
Ils sont solidaires : la somme dem entiers deE s’´ecrit (n!)(Pk) +m, etm est un diviseur den! ; la moyenne est donc (Pk)(n!/m) + 1, entier.
Remarque. On pourrait utiliser, au lieu de la factorielle n!, le PPCM des entiers de 1 `an.
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