E544. Passage au vert
Les nombres de 1 `a 2010 peuvent prendre la couleur rouge ou verte. Ils sont `a l’origine tous rouges.
Quand je choisis l’un d’eux, je change sa couleur ainsi que celle de tous les entiers qui ont un diviseur commun avec lui strictement plus grand que 1.
Est-il possible de faire passer au vert tous les nombres ?
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Solution de Claude Felloneau
La r´eponse estOUI.
On note E l’ensemble des entiers naturelsn, 16n62010, qui sont ´egaux `a 1, `a un nombre premier ou
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a un produit de nombres premiers distincts, et pour tout entier naturel 16n62010, on pose :
P(n) : On peut faire passer au vert tous les entiers de 1 `an en choisissant successivement des ´el´ements de E qui sont inf´erieurs ou ´egaux `a n.
D´emontrons par r´ecurrence surnla propri´et´eP(n).
• P(1) est vraie.
• Si n est un entier sup´erieur ou ´egal `a 1 pour lequel P(n) est vraie, il existe donc une liste L d’´el´ements de E telle qu’en choisissant successivement les ´el´ements de L, les entiers de 1 `a nsont rouges.
– Si n+ 1 est vert alorsP(n+ 1) est vraie.
– Si n+ 1 est rouge, on consid`ere la d´ecomposition den+ 1 en facteurs premiersn=pα11...pαkk o`u lespi sont des entiers premiers distincts deux `a deux et lesαi des entiers>1.
Commenet a=p1...pk ont les mˆemes facteurs premiers, le choix des entiers de L a le mˆeme effet sur l’entiernet sur l’entiera. Doncaest rouge et, par cons´equent,a > n. Ora6n+ 1, donca=n+ 1 et tous lesαi sont ´egaux `a 1.
On choisit alors successivement tous les diviseurs den+ 1 qui sont strictement sup´erieurs `a 1.
Ce sont des ´el´ements de E.
∗ Comme il y en a 2k−1 qui est un nombre impair,n+ 1 est vert.
∗ La couleur des entiersmqui sont premiers avecaest inchang´ee.
∗ Simest un entier inf´erieur ou ´egal `anqui n’est pas premier aveca, soitd=P GCD(m, a).
On a d6m < aet dest le produit deq (16q < k) entiers premiers distincts pris parmi p1, p2, ..., pk.
Parmi les diviseurs deaqui sont strictement sup´erieurs `a 1, ceux qui sont premiers avecd sont au nombre de 2k−q−1 et ceux qui ne sont pas premiers avecdsont donc au nombre de 2k −2k−q qui est pair puisque q < k. La couleur dem est donc chang´ee un nombre pair de fois et finalementmest vert.
Dans tous les cas, P(n+ 1) est vraie.
• Par r´ecurrence,P(n) est donc vraie pour tout entiern, 16n62010.
En particulier,P(2010) est vraie.
Remarque : L’ordre dans lequel on choisit les entiers n’a aucune importance et deux choix du mˆeme entier n’a aucun effet, donc il suffit de conserver les nombres de E qui ont ´et´e choisis un nombre impair de fois. Il en reste 899 dont on peut facilement ´etablir la liste avec un programme.
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