D1909. Deux angles supplémentaires
A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.
Solution proposée par Maurice Bauval
Soit le cercle tangent en A à AC et tangent en B à BC. La demi droite AP d’origine A coupe en P’. Les égalités d’angles PAB = P’AB = P’BC ( angles inscrits interceptant le même arc P’B du cercle ) et PAB = PBC montrent que les droites P’B et PB sont confondues, ainsi que les points P et P’. P est donc sur le petit arc AB du cercle .
Si l’on nomme U le point où la droite CP recoupe , l’angle BPU est le supplémentaire de BPC.
Si l’on nomme V le point où la droite PM recoupe , l’angle APV est égal à APM.
Il suffit donc de prouver l’égalité des arcs BU et AV du cercle .
On ne restreint pas le problème en supposant que a pour rayon 1. C et M sont placés sur l’axe des abscisses, C d’abscisse c et M d’abscisse m. La doite AB est la polaire de C par rapport à donc mc = 1. Les points P,U,V sont repérés par leurs affixes complexes z,u,v. Le conjugué de z est 1/z.
P et U se correspondent dans l’inversion de pôle C de puissance c²-1 donc (u-c)(1/z-c) = c²-1.
On en tire u = c + (c²-1)z/(1-cz) = (c-z)(1-cz).
P et V se correspondent dans l’inversion de pôle M de puissance m²-1 donc (v-m)(1/z-m) = m²-1.
Les mêmes calculs donnent v = (m-z)/(1-mz), on remplace m par 1/c d’où v = (1-cz)/(c-z).
u = v = 1 et uv =1. u et v sont des nombres complexes conjugués. U et V d’une part, A et B d’autre part sont symétriques par rapport à la droite CM. De même pour les arcs BU et AV du cercle . Les angles inscrits BPU et APV sont égaux.
