A817– La saga de Méphisto(1) (1er épisode) [** à ***** à la main]
Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto(1) dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n
strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) (n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]
Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]
Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement[*****]
(1)Nota : alias « mes φ σ τau »
Solution proposée par Daniel Collignon
On pourra s'aider des suites : p (phi) : https://oeis.org/A000010 s (sigma) : https://oeis.org/A000203 t (tau) : https://oeis.org/A000005
Si n = prod(p_i ^ a_i), alors : * p(n) = n*prod(1 - 1 / p_i)
* s(n) = prod((p_i^(a_i + 1) - 1)/(p_i - 1)) * t(n) = prod(a_i + 1)
Q1 La séquence la plus courte semble être s(7)=8, s(8)=15, s(15)=24, s(24)=60, p(60)=16, t(16)=5
Q2
voici les opérateurs (e=phi, t=tau, s=sigma) Pour les valeurs faciles à atteindre:
[2, 's', 3]
[2, 's', 3, 's', 4]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24, 's', 60, 'e', 16, 't', 5]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6, 's', 12, 's', 28, 's', 56, 's', 120, 'e', 32, 's', 63, 'e', 36, 't', 9]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24, 's', 60, 's', 168, 'e', 48, 't', 10]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6, 's', 12]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6, 's', 12, 's', 28, 's', 56, 's', 120, 'e', 32, 's', 63, 'e', 36, 't', 9, 's', 13]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6, 's', 12, 's', 28, 's', 56, 's', 120, 'e', 32, 's', 63, 'e', 36, 't', 9, 's', 13, 's', 14]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24, 's', 60, 'e', 16]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24, 's', 60, 's', 168, 'e', 48, 't', 10, 's', 18]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24, 's', 60, 's', 168, 's', 480, 'e', 128, 's', 255, 's', 432, 't', 20]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 'e', 6, 's', 12, 's', 28, 's', 56, 's', 120, 'e', 32, 's', 63, 's', 104, 's', 210, 's', 576, 't', 21]
[2, 's', 3, 's', 4, 's', 7, 's', 8, 's', 15, 's', 24]
Autrement, grâce notamment à la suite http://oeis.org/A007497,pour atteindre toutes les valeurs =< 26 : s^25(2)=33463001088=2^13*3^2*11^4*31
e(2^13*3^2*11^4*31)=2^15*3^2*5^2*11^3 e(2^15*3^2*5^2*11^3)=2^18*3*5^2*11^2 e(2^18*3*5^2*11^2)=2^21*5^2*11 e(2^21*5^2*11)=2^23*5^2
e(2^23*5^2)=2^24*5
e(2^24*5)=2^25 et t(2^25)=26 e(2^25)=2^24 et t(2^24)=25
en itérant avec e et en finissant par t, on atteint toutes les valeurs =< 25, en particulier 11, 17, 19, 22, 23.
