A817– La saga de Méphisto(1) (1er épisode) [** à ***** à la main]
Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto(1) dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n
strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) (n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]
Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]
Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement[*****]
(1)Nota : alias « mes φ σ τau »
Solution proposée par Jean Nicot
Donnons les valeurs de φ σ τ pour les premiers entiers
Q1- 7- σ - 8- σ -15- σ -24- σ —60- φ-16- τ -5 n φ τ σ
60 16 12 168
Q2-
2- σ-3- σ -4- σ -7- σ -8-σ-15- σ-24- σ-60- φ-16- τ -5-σ-6- σ-12 -σ-28-σ-56
56- σ-120- σ-360- σ-1170- φ-288- τ-18- σ-39- φ-24 σ-60 - σ-168- φ-48- φ -16- σ-31- σ-32- σ-63- φ-36 - τ-9- σ -13- τ-14- - φ-24-σ-60 - σ-168- φ-48-τ-10- σ-18- σ-39- σ-56
56- σ-120- σ-360- σ-1170 φ-288- σ-819-φ-432-φ-144 τ-20- σ-42 ;;;;
( manquent 11 17 21 22 23 25 )
On remarque que τ(2n) = n +1 et que σ( 2n) = 2n+1- 1
Q 3- Les touches φ et τ fournissent toujours un résultat inférieur ; elles permettent facilement d’arriver de p à 2 A l’inverse, la touche σ augmente la valeur ; on peut ainsi atteindre et même dépasser q. Atteindre q risque d’être difficile surtout si q est premier.
