Q2− un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits

A5913. Toujours possible ***

Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :

Q₁− un entier positif de la forme 3k−2 aveckentier>1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.

Q2− un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.

Q3− un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.

Q4− un entier positif ou nul sous la formea²+b²−c²aveca,b,centiers et 0<a<b<c.

Q5− un entier quelconque sous la forme 1²±2²±...±n²avec un certain entiernet le choix conve- nable du signe « + » ou «−» précédant chacun des termesk²aveck=2, ...,n

Nota : les cubes parfaits peuvent être négatifs.

Solution de Claude Felloneau

Q1−Un entier positif de la forme 3k−2 aveckentier>1 est la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.

Cela résulte de l’identité : 3k−2=(3k+5)²+k³+(−k−3)³.

Q2−Un entier positif quelconque est la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.

En effet, d’aprèsQ1, il suffit d’établir que tout entier positifn peut s’écrire comme somme d’un entier positif 3k−2 aveck>1 et d’un cube parfaitm³.

Soientq la quotient etr le reste de la division euclidienne denpar 3. On a 06^r 6^{2 etn}=3q+r donc n=¡

3(q+1)−2¢

+(r−1).

Orr−1= −1, 0 ou 1 qui sont des cubes parfaits donc le résultat est établi.

Q3−Un entier quelconque est la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.

En effet, tout entiern est congru à 0, 1,−1, 2,−2 ou 3 modulo 6 donc congru à 0³, 1³, (−1)³, 2³, (−2)³ou 3³modulo 6. Ainsi il existe deux entiersqetmtel quen=6q+m³.

L’identité 6q=(q+1)³+(−q)³+(−q)³+(q−1)³permet de conclure quen est la somme de cinq cubes parfaits.

Q₄−Un entier positif ou nulnpeut toujours sous la formea²+b²−c²aveca,b,centiers et 0<a<b<c.

En effet, il suffit quen=a²+b²−c²avec 0<a<betc=b+1, soitn=a²−2b−1=(a−1)²−2(b−a+1).

Il suffit alors de choisirade parité différente de celle dentel que (a−1)²−n>^4.

Par exemple, on peut prendrea=n+3. On a alorsb=(n+3)²−n−1

2 =1

2n(n+5)+4 etc=1

2n(n+5)+5.

On vérifie que l’on a bienn=a²+b²−c²et 0<a<b<c.

Q₅−Un entier quelconque peut s’écrire sous la forme 1²±2²±...±n²avec un certain entiernet un choix convenable du signe « + » ou «−» précédant chacun des termesk²aveck=2, ...,n.

SoitEl’ensemble des entiers qui peut s’écrire sous cette forme.

Comme pour toutk∈Z, 4=k²−(k+1)²−(k+2)²+(k+3)², sia∈Ealorsa+4∈Eeta−4∈E.

−4=1²+2²−3²donc−4∈EetEcontient donc tous les multiples de 4.

1=1²donc 1∈EetEcontient donc tous les entiers congrus à 1 modulo 4.

6=1²−2²+3²donc 6∈EetEcontient donc tous les entiers congrus à 2 modulo 4.

−13=1²+2²−3²+4²−5²donc−13∈EetEcontient donc tous les entiers congrus à 3 modulo 4.

FinalementE=Z.

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