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A50255. Cubes consécutifs et carré

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A50255. Cubes consécutifs et carré

Soient deux entiers consécutifs tels que la différence de leurs cubes est un carré parfait. Montrer que la racine de ce carré est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.

Solution

La condition (n+ 1)3−n3 = 3n2+ 3n+ 1 =m2 s’écrit 3(2n+ 1)2= 4m2−1 = (2m+ 1)(2m−1).

Les deux facteurs, impairs et de différence 2, sont premiers entre eux. Un diviseur premier p présent dans un facteur est absent dans l’autre. Si p a l’exposantddans le produit, il a le même exposantddans celui des facteurs qu’il divise.

La parité des exposants dans le produit 3(2n+ 1)2 (impaire pour p = 3, paire pour tous les autres) montre que le facteur multiple de 3 est 3u2 et l’autre v2. Alors 3u2 =v2+ 2 (3 ne peut diviserv2−2).

u etv, diviseurs de 2n+ 1, sont impairs,v= 2w+ 1, m= (v2+ 1)/2 =w2+ (w+ 1)2, CQFD.

Les couples (n, w) sont en nombre infini, les premiers étant (7,2), (104,9), (1455,35), (20272,132).

Pour prolonger cette liste, observez que 3 termes w consécutifs ont pour somme 1 + cinq fois le terme médian. De même, 3 termesnconsécutifs ont pour somme 6 + quinze fois le terme médian.

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